惠安一中2012级高二年上学期期中考试试卷

理科数学

（考试时间：120分钟　满分150分）

一、选择题：每小题5分，共50分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案的字母序号填涂在答题卷相应的位置上.

. 为了了解
名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为
的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔
为 (　 　)

.
.

.
.

. 已知直线
及曲线
，则点
(　 　)

. 在直线
上，但不在曲线
上　　　.在直线
上，也在曲线
上

.不在直线
上，也不在曲线
上　　.不在直线
上，但在曲线
上

. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图

（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是（ ）

.
　　.
　
.
　.

. 下列命题的说法错误的是（ ）

. 命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

. “
”是“
”的充分不必要条件.

. 对于命题

则

. 若
为假命题，则、均为假命题.

. 拉练行军中，某人从甲地到乙地共走了
，途中涉水横穿过一条宽为
的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，若物品遗落在河里就找不到，否则可以找到，已知找到该物品的概率为
，则河宽为（ ）

.
　　 　 .

.
　 　　.

x

3

4

5

6



y

2.5

3

4

4.5




. 已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据， 求出关于的线性回归方程为
那么
的值为（ ）

.
　　 　.

.
　 　　.

. 已知
是不同平面，直线
，直线
，命题
与
没有公共点；

命题

，则是的 ( )

.充分不必要条件 .必要不充分条件　
.充要条件 . 既不充分也不必要条件

. 如图，定点和都在平面内，定点
，
是内异

于和的动点，且
，那么动点
在平面内的轨迹是( )

.一条线段，但要去掉两个点 .一个圆，但要去掉两个点

.一条抛物线，但要去掉两个点 .半圆，但要去掉两个点

.在圆
内任取一点，则该点恰好在区域
内的概率为（ ） .
　　 .

.
.

. 下面给出四个命题：

①若
，则
；

②
是一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件；

③在数列
中，
是数列
为递增数列的必要不充分条件；

④方程
表示的曲线是一个圆和一条直线．其中为真命题的是（ ）

.①②③ 　　 　.①③④　　　　　
.②④ .①②③④

二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置上.

．已知集合
，集合
，任意
,则
的概率是 .

. 阅读下图程序：若输入的的值为，则输出的结果的值为_ .

．用“辗转相除法”求得
和
的最大公约数是 .

.一组数据
的平均数是
，则其方差是 .

（注：方差
）

. 已知实数
，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于
的概率为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

.（本小题满分
分）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表：

血型











该血型的人所占比例(%)











已知同种血型的人可以输血,
型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是型血，若小明因病需要输血，问：

(Ⅰ)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(Ⅱ)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

.（本小题满分
分）已知命题
；命题
若命题
为假命题，求实数的取值范围．

.（本小题满分
分）如图所示，四棱锥
中，
是矩形，三角形
为等腰直角三角形，
面
面
，

分别为
和
的中点。

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）证明：平面
平面
；

（Ⅲ）求四棱锥
的体积。

.（本小题满分
分）根据右图的程序框图，将输出的
值依次分别记

为
；

（Ⅰ）写出数列
的递推公式，求
的通项公式；

（Ⅱ）写出数列
的递推公式，求
的通项公式；

（Ⅲ）求数列
的前项和
(
）.

. （本小题满分
分）为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成
组，绘成频率分布直方图如下图，从左到右各小组的小长方形的高之比为
，最右边一组的频数是
，请结合直方图的信息，解答下列问题；

（Ⅰ）样本容量是多少？

（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取
个学生的成绩作进一步调查，问成绩在
分到
分的学生有几个？

（Ⅲ）已知成绩在
分到
分的学生中，至少有
个是男生，求成绩在
分到
分的学生中，男生比女生多的概率。



. （本小题满分
分）在平面直角坐标系
中，以
为圆心的圆与直线
相切。

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）圆
与轴相交于
两点，圆
内的动点使
成等比数列，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知
是圆
上任意三点，动点
满足
，问点
的轨迹是否一定经过
的重心（重心为三角形三条中线的交点），并证明你的结论。

惠安一中2012级高二年上学期期中考试

高二（理科）数学参考答案及评分说明

一.单项选择题: BBDDA CBBAA

二.填空题：11.
12.
13.
14. 15.

三.解答题：

.解： (Ⅰ)对任一人，其血型为、、
、
型血的事件分别记为
、
、
、
，它们是互斥的．由已知得

,
,
,
…………………分

因为、
型血可以输给型血的人，故“可以输给型血的人”为事件
,根据互斥事件的加法公式，有

…………………
分

∴任找一人，其血可以输给小明的概率为
。…………………
分

(Ⅱ)由于、
型血不能输给型血的人，故“不能输给型血的人”为事件
，

是事件
的对立事件，故有

…………………
分

∴任找一人，其血不能输给小明的概率为
.…………………
分

.解：若命题为真命题, 则
在
上恒成立，

由
，知
，
…………………分

若命题为真命题, 则
，即
或
…………………
分

由命题
为假命题，得为假命题，也为假命题…………………
分

，即
…………………
分

综上所求实数的取值范围是
………………………………………
分

.证明：（Ⅰ）连结
,由题可知是
的中点,

∵
分别是
，
的中点,

∴
∥
∵
平面
，
平面
,

∴
∥平面
…………………分

（Ⅱ）平面
平面
于
,且
⊥
,

∴
⊥平面
,又
平面
,

∴平面
⊥平面
…………………
分

（Ⅲ）过作
⊥
于
,

∵△
是等腰直角三角形， …………………
分

∴
为
的中点，

∵平面
⊥平面
，

∴
⊥平面
…………………分

∵△
是等腰直角三角形，且
，∴

∴
…………………
分

.解：（Ⅰ）数列
的递推公式为
；…………………分

∵
，

∴数列
构成一个首项为公比为的等比数列，

∴数列
的通项公式为
（
）；…………………分

（Ⅱ）数列
的递推公式为
，…………………
分

证明：∵