命题学校：公安一中 审题学校：宜昌一中 沙市中学

考试时间：2013年11月16日8:00—10:00 试卷满分：150分

第Ⅰ卷 选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）

A. i＞5？ B. i＞6？

C. i＞7？ D. i＞8？

2. 以下程序运行后的输出结果为（ ）

A. 17 B. 19

C. 21 D. 23

3. 甲、乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，
，
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，S1，S2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A.
＞
，S1＜S2 B.
＝
，S1＜S2

C.
＝
，S1＝S2 D.
＜
，S1＞S2

4. 当
时，用秦九韶算法计算多项式
的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）

A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5

5. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品的销售情况，需从这600个销售点中抽取一容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是（ ）

A. 分层抽样，系统抽样 B. 分层抽样，简单随机抽样

C. 系统抽样，分层抽样 D. 简单随机抽样，分层抽样

6. 若直线
与
互相垂直，则a等于（ ）

A. 3 B. 1 C. 0或
D. 1或－3

7. 直线
截圆
所得的弦长等于，则以
、
、
为边长的三角形一定是 （ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在

8. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班一位班主任），要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）

A. 210种 B. 420种 C. 630种 D. 840种

9. 已知点
，点
为坐标原点且点在圆
上，且
与
夹角
的最大值与最小值分别是 （ ）

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

10. 如图，天花板上挂着三串小玻璃球，第一串挂着2个小球，第二串挂着3个小球，现在射击小球，射击规则是：每一串中下面的小球被击中后方可以射击这串上面的小球，若小球A恰好在第五次射击时被击中，小球B恰好在第六次射击时被击中（假设每次都击中小球），则这9个小球全部被击中的情形有（ ）

A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种

第Ⅱ卷 非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上。

11. 设圆
的弦AB的中点P
，则直线AB的方程是______________.

12. 已知线性回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心
为
，则线性回归方程为________________.

13. 在三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如304，968等都是凹数。各个数位上无重复数字的三位凹数共有____________个.

14. 由直线
上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为_____.

15. 若圆
上至少有三个不同点到直线
的距离为
. 则直线l的倾斜角的取值范围是_________________.

三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. 如下图，给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的的值，

（1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；

（2）若视为自变量，为函数值，试写出函数
的解析式；

（3）若输出的值的范围是
，求输入的值的范围？

17. 4名学生和3名教师站成一排照相，问：

（1）中间三个位置排教师，有多少种排法？

（2）一边是教师，另一边是学生的排法有多少种？

（3）首尾不排教师有多少种排法？

（4）任意2名教师不能相邻的排法有多少种？

18. “世界睡眠日”定在每年的3月21日，2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识，为此某网站进行了持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示.

（1）在答题卡给定的坐标系中画出频率分布直方图；

（2）睡眠时间小于8的概率是多少？

（3）为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算. 分析中一部分计算见算法流程图，求输出的S的值，并说明S的统计意义.

序号(i)

分组睡眠时间

组中值(mi)

频数(人数)

频率(fi)



1

[4,5)

4.5

8

0.04



2

[5, 6)

5.5

52

0.26



3

[6, 7)

6.5

60

0.30



4

[7, 8)

7.5

56

0.28



5

[8, 9)

8.5

20

0.10



6

[9, 10]

9.5

4

0.02





19. 已知直线l经过直线
与
的交点.

（1）点
到直线的距离为1，求l的方程；

（2）求点
到直线l的距离的最大值。

20. 已知线段AB的端点B的坐标是
，端点A在圆
上运动，

（1）求线段AB中点M的轨迹方程；

（2）点C
，若过点C且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程。

21. 已知圆O：
，直线
.

（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=
时，求k的值.

（2）若
，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；

（3）若EF、GH为圆O：
的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，
），求四边形EGFH的面积的最大值.

2013—2014秋季高二年级期中考试

数学试题参考答案（理科）

三、计算题

17.（1）先排教师有
种，再排学生有
种，故共有
×
=144种. ………3分

（2）教师和学生各看成一个大元素，可以交换位置，共有


=288种不同的排法. ………6分

（3）首尾两个位置排学生共有
种，其余5个位置可以排余下的5人，有
种方法，所以共有

=1440种. ………9分

（4）采用“插空法”，N=

=1440种不同的排法. ………12分

若直线l的斜率不存在，即方程为
，

此时点A到直线l的距离为1，满足； ………3分

若直线l的斜率存在，设方程为
，即
，

∴
，解得
，直线方程为
； ………5分

综合得：直线l的方程为
或
. ………6分

（2）点A到直线l的距离为
， ………8分

显然
时，d有最大值，且

当且仅当
取等号

∴点A到直线l的距离的最大值为
。 ………12分

20.（1）设A(m, n)，M(x, y)，∵M为线段AB中点

∴


，又点A在圆
上运动

∴
即

∴点M的轨迹方程为：
； ………6分

（2）设切线方程为：
和
………9分

则
和
，解得：
或
………11分

∴切线方程为
和
. ………13分

21.（1）∵∠AOB=
，∴点O到l的距离
………2分

∴
=
·


………4分

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设
.

其方程为：

即

又C、D在圆O：
上

∴
即
………7分

由
得

∴直线CD过定点
………9分

（3）设圆心Ogc直线EF、GH的距离分别为
.

则
………11分

∴

∴

当且仅当
即
时，取“=”

∴四边形EGFH的面积的最大值为
. ………14分

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