湖北省恩施自治州高级中学2013-2014学年高二上学期第三次第三次考试

理科数学试题

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1.设
是两个任意事件，下面哪一个关系是正确的（ ）

A.
B.
C.
D.

【解析】本题考查随机事件的关系及运算，必修3教参P123第2题，容易题.选C.

2.用秦九韶算法计算多项式
当
的值时，至多需要做乘法的次数与
的值分别是( )

A.
，
B.，
C.，
D.
，

【解析】本题考查秦九韶算法，必修3教材例题2与思考，容易题.选A.

3．给出下列五个命题：

①随机事件的概率不可能为0；

②事件
中至少有一个发生的概率一定比
中恰有一个发生的概率大；

③掷硬币100次，结果51次出现正面，则出现正面的概率是
；

④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；

⑤如果事件与相互独立，那么与
，
与，
与
也都相互独立.

其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D． 4

【解析】本题考查命题的真假判断，概率的性质，频率与概率的定义，互斥事件与对立事件的关系，事件的独立性，必修3教材P124B组第1题，选修2-3教材P54正文及P55第4题，容易题.选B.

4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）

A．576 B．720 C．810 D．648

【解析】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理，选修2-3教材P19例题4，容易题. 选D.

5.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
等于（ ）

A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585

【解析】本题考查正态分布的计算，选修2-3教材P75B组第2题，P77B组第2,3题改编，容易题.选B.

6．读下面的程序：

上面的程序如果在执行的时候，输入93，那么输出的结果为（ ）

A．99 B．39 C．39.3 D．99.3

【解析】本题考查基本算法语句，必修3P29练习第2题，容易题. 选B.

7. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图

所示），设甲乙两组数据的平均数分别为
，
，中位数分别为
，
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

【解析】本题考查样本数据的基本数字特征及其意义，茎叶图，2012年陕西高考题，容易题.选C.

8．若
，则
的值为（ ）

A．2 B．0 C．-1 D．－2

【解析】本题考查二项式定理，赋值法，中档题.令
可得，选C.

9．设某大学的女生体重 (单位:
)与身高 (单位:
)具有线性相关关系,根据一组样本数据
,用最小二乘法建立的回归方程为
,则下列说法不正确的是( )

A．与具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1
，则体重约增加

D．若该大学某女生身高为
，则可断定其体重必为

【解析】本题考查两个变量间的相关性，最小二乘法及正相关、负相关的概念,选修2-3教材P81例题1,及探究，易错题.选D.

10．四面体的顶点和各棱的中点共10个点. 在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数是（ ）

A． 141 B．144 C．150 D．155

【解析】本题考查排列组合的解决简单实际问题，分类加法计数原理、分步乘法计数原理，教材P27第12题，P40第5题，P41第3题，有一定的难度.计算得141.

取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（
种取法）减去4点共面的取法,取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有
种取法；第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法；第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法；根据分类计数原理4点共面取法共有
，故取4个点不共面的不同取法有
（种）.

二、填空题：本大题共5小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．已知
，则
的值为 ▲ ；(填数字)

【解析】本题考查组合数公式及性质，容易题.计算得466.

12．按右图所示的程序框图运算，若输出
，则输入的取值范围是 ▲ ；

【解析】本题考查程序框图的三种基本逻辑结构，容易题.计算得的取值范围是
.

13．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 ▲ ；

【解析】本题考查条件概率，古典概型，选修2-3教材P53例题1,容易题.计算得
.

14．已知
的分布列为：



















若
，且
，则
的值为 ▲ ．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，离散型随机变量的期望与方差的计算公式，选修2-3教材P68A组第1,2题改编，中档题.计算得
或
.

15.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人，现采用分层抽样（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.则抽取的4名工人中恰有两名男工人的概率为 ▲ ；

【解析】本题考查分层抽样，简单随机抽样，古典概率.中档题.计算得
.

三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知集合
，设
，
．

(Ⅰ) 当
时，判断是的什么条件；

(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解析】：本题考查简单分式不等式以及一元二次不等式的解法，“若则”形式命题真假的判断，充分必要条件的判断，基础题.

解：(Ⅰ)由
得
，解得
，所以
；……………………2分

当
时，
；……………………………………3分

因为“若则”是假命题，且“若则”也是假命题，…………5分

所以是既不充分也不必要条件.…………………………6分

(Ⅱ)因为是的充分不必要条件.

又
，

从而
，即
.

实数的取值范围是
.…………………………12分

17.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名作为样本测量身高.据测量，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
第二组
;……第八组
.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

（Ⅰ）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（Ⅱ）在上述样本中从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，求满足“
”的事件的概率；

（Ⅲ）在上述样本中从最后三组中任取3名学生参加学校篮球队，用
表示从第八组中取到的学生人数，求
的分布列和数学期望.

【解析】本题考查频率分布直方图，用样本频率分布估计总体分布，计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，取有限个值的离散型随机变量及其分布列、均值，超几何分布.

解：（Ⅰ）第一组人数为
人，则第八组也为2人，第一组人数为
人，第三组与第四组人数分别为
人，第五组人数为
人，由于第六组，第七组，第八组的人数依次构成等差数列，设第七组人数为人，第八组人数为
人，则
，解得
.

从而这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为：
人.

………………………………………………………………4分（用另解方法给2分）

另解：由题意得，这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为：

人.

（Ⅱ）第六组人数为4人，第八组人数为2人.由题意得，从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的基本事件总数为
种，身高
满足“
”的基本事件数为
种，

所以
.……………………………………7分

（Ⅲ）
的所有可能取值为0,1,2.……………………………8分

；

；

.………………………………11分

所以
的分布列为：



















故
.…………………………12分

18.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

某市公租房房屋位于
三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：

（Ⅰ）恰有2人申请片区房屋的概率；

（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的
分布列与期望．

【解析】本题考查古典概型及概率计算公式，等可能事件的概率，n次独立重复试验恰好发生k次的概率，取有限个值的离散型随机变量及其分布列、均值．中档题.

解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有
种，恰有2人申请片区房源的申请方式有
种，从而恰有2人申请片区房源的概率为
．………………………………6分

另解：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A片区房源”为事件A，则
，由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请片区房屋的概率为
．

（Ⅱ）
的所有可能值为1，2，3．………………………………7分

，

，

．……………………………………10分

所以
的分布列为：



















故
．……………………12分

19．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

在平面
中，不等式
确定的平面区域为
，不等式组
确定的平面区域为
.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域
中任取3个“整点”，求这些“整点”恰好有两个

“整点”落在区域
中的概率；

（Ⅱ）在区域
中每次任取一个点，若所取的点落在区域
中，称试验成功，否则称试验失败.现进行取点试验，到成功了4次为止，求在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.

【解析】本题考查古典概率，几何概率，计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.中档题.

解：（Ⅰ）平面区域
中的整点为:

共13个；平面区域
中的整点为：
共5个.…………………………3分

记“在区域
中任取3个“整点”，这些“整点”恰好有两个“整点”落在区域
中”为事件.

则
.………………………………6分

（Ⅱ）平面区域为
的面积为
，平面区域为
的面积为
.

所以在区域
中每次任取一点，落在区域
中的概率为
.……………………3分

由题意得，记“到成功了4次为止，在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败”为事件，

则
.………………………………12分

20．（本小题满分13分）（注意：在试卷上作答无效）

已知二项式
的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1.

(Ⅰ)求展开式中所有的有理项；

(Ⅱ)求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项.

【解析】本题考查二项式定理及其相关概念.

解(Ⅰ) 通项公式为：
，……………………1分

∵第3项的系数与第1项的系数的比是144：1，

∴
，即
，解得
或
（舍去）.……………………3分

从而通项公式为：
，

当
时，所有的有理项为
；
；
；
.

………………………………………………6分（少1个扣1分）

(Ⅱ)因为
，展开式共有10项，故二项式系数最大的项为
和
.…………8分

展开式中第
项，第项，第
项的系数绝对值分别为：
，
，
.

若第项的系数的绝对值最大，则必须满足：

，即
，解得
，又
，所以
.

所以系数绝对值最大的项为
.……………………………………12分

21．（本小题满分14分）（注意：在试卷上作答无效）

现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是
，每次射击击中乙靶的概率是
，其中
，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为
．该射手在