惠安一中2013-2014学年第一学期期中考试

高二数学文科

（考试时间：120分钟　试卷满分150分）

参考公式：

方差
，其中
为
，
，…，
的平均数

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）

1.描述总体离散程度或稳定性的特征数是总体方差
，以下统计量能描述总体稳定性的(　　)．

A．样本均值
B．样本的中位数 C．样本的众数 D．样本方差

2.命题“
，都有
”的否定是（ ）

A．
，都有
B．
，都有

C．
，使得
D．
，使得

3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（ ）．

A．10 B. 15 C. 20 D.30

4. 设
，则
是
的（ ）

A．充分但不必要条件　 B．必要但不充分条件　

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）

A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件

6. 一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）

A.11.5和12 B.11.5和11.5

C.11和11.5 D.12和12

7. 如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ 　）．

A．10 B．22 C．46 D．94

8. 一个袋中装有形状、大小相同的2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，

然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( 　)．

A．
B．
C．
D．

9. 命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A.
B.
　　　 C.
　　　D.

10. 如下图面积为的矩形
中有一个阴影部分，若往矩形
投掷
个点，

落在矩形
的非阴影部分中的点数为
个，试估计阴影部分的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

广告费用（万元）

3

4

5

6



销售额（万元）

25

30

40

45





11. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如上表：根据上表可得回归方程
中的

为7，据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于（ ）

A．42.0元 B．57.0元 C．66.5元 D．73.5元

12. 函数
.给出函数
下列性质

⑴
的定义域和值域均为
；

⑵
是奇函数；⑶函数在定义域上单调递增；⑷函数
有两零点；⑸、为函数

图象上任意不同两点，则
.则函数
有关性质中正确描述的个数是（ ）

A. B. C．3 D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：

分组















频数

1

2

3

10



1



则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．

14. “若
，则
”的逆否命题 .

15. 在
上随机取一个数，则
的概率为 .

16. 对于数列
，

），若
为
，
，….，
中最大值（
，则称数列
为数列
的“凸值数列”。如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；

由此定义，下列说法正确的有 ；

递减数列
的“凸值数列”是常数列；②不存在数列
，它的“凸值数列”还是
本身；

③任意数列
的“凸值数列”递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9,的所有数列
的个数为3.

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱



厨余垃圾

400

100

100



可回收物

30

240

30



其他垃圾

20

20

60



（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

18. 设命题:实数满足
,其中
；命题
数满足
．

（Ⅰ）若
且
为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若
是的充分不必要条件,求实数的取值范围．

19. 已知关于的一次函数
.

（Ⅰ）设集合
和
，分别从集合和
中随机取一个数作为和，求函数
是增函数的概率；

（Ⅱ）实数
满足条件
，求函数
在单调递增，且函数图像经过第二象限的概率．

20.某校高二年有学生320人，现随机抽取个学生对其每天晚自习自主支配学习时间进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人．

（Ⅰ）若学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？

（Ⅱ）问卷调查完成后，学校从第5组和第6组学生中利用分层抽样的方法抽取5名学生进行座谈，并从这5人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人．求第6组中至少有1名学生被选聘为学情调查联系人的概率．

21. 已知平面向量
，

函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）将函数
的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数
的图象，若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.

22. 各项均为正数的等比数列
满足
，

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
,数列
前项和
.在（Ⅰ）的条件下，证明不等式
;

（Ⅲ）设各项均不为0的数列
中，所有满足
的整数的个数称为这个数列
的“积异号数”， 在（Ⅰ）的条件下，令
，
，求数列
的“积异号数”

惠安一中2013-2014学年第一学期期中考试

高二数学文科参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

B

A

B

A

C

A

C

B

D

B



二、填空题

13. 70 14.若
，则
15.
16. ①④

三、解答题

17.解：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为

…………6分

（Ⅱ）设“生活垃圾投放错误”为事件，则事件
表示“生活垃圾投放正确”

∴
…………10分

∴
…………12分

18. 解:(Ⅰ)由已知
，又
,所以
,

当
时，1<
,即为真时实数的取值范围是1<
. …………3分

由已知为真时实数的取值范围是
.

若
为真，则真且真，所以实数的取值范围是
. …………6分

(Ⅱ)
是
的充分不必要条件，即,


,且


,

由命题的等价性可知：
是
的充分不必要条件

,且

设A=
,B=
,则
,……………8分

又A=
=
, B=
=
}， ……………10分

则
，解得
所以实数的取值范围是
. ……………………12分

19. 解：（Ⅰ）抽取的全部结果的基本事件有：

，

共10个基本事件，…………………2分

设使“函数为增函数”的事件为，

则包含的基本事件有：
，

共6个基本事件，…………………4分

所以，
. …………………6分

（Ⅱ）
满足条件
依题意可得，
， …………………8分

故点
的区域为第一象限的阴影部分…………………10分

∴所求事件的概率为
…………………12分

20. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06.

则n×(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50. ……………2分

（Ⅱ）设第i个小矩形对应的频率和底边中点分别是pi和xi，

由图知p1＝0.02， p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4，p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0. 02，

x1＝5，x2＝15，x3＝25，x4＝35，x5＝45，x6＝55，x7＝65.…………3分

则高一学生每天晚自习平均自主支配时间是

＝33.6＜45. ……………5分

则学校应该适当减少作业量． ……………6分

（Ⅲ）第5组和第6组的频数分别是6和4，用分层抽样的方法抽取5人，则第5组应抽取3人，第6组应抽取2人．……………7分

设第5组中被抽到的3名学生分别是甲、乙、丙，第6组被抽到的2名学生分别是a、b，则从5人中抽取2人的基本事件空间

＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，a)，(甲，b)，(乙，丙)，(乙，a)，(乙，b)，

(丙，a)，(丙，b)， (a，b)，共10个基本事件．……………9分

其中事件A＝“第6组中至少有1名学生被选聘”共有7个基本事件：

(甲，a)，(甲，b)， (乙，a)，(乙，b)， (丙，a)，(丙，b)，(a，b)……………11分

则P(A)＝
，即第6组中至少有1名学生被选聘的概率是
……………12分

21.解：（Ⅰ）∵
函数

∴
1分

4分

∴
∴函数
的最小正周期为8．… 6分

（Ⅱ）依题意将函数
的图像向左平移1个单位后得到函数

…………8分

函数
在
上有两个零点，即函数
与
在
有两个交点，如图所示：

所以
，即
所以实数
取值范围为
．………12分

22.解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为，由
得
， ………1分

解得
或
，∵数列
为正项数列，∴
………2分

∴首项
，∴
………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

∴
……………7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得
，∴
……………8分

∴
……………9分

∴
……………10分

∵
……………11分

∴数列
是递增数列； ……………12分

由
得，当
时，
……………13分

∴数列
的“积异号数”为1. ……………14分