许昌市五校联考高二第四次考试

理科
数学试卷

命题学校：长葛一高 命题人：杜建超 审题人：魏桂珍[来源:Z+xx+k.Com]

(考试时间：120分钟，分值：150分)

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。）

1．抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是(　　)．

A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝4x D．y2＝8x

2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝
x＋＋，则x的值为(　　)．

A. B. C. D．0

3．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(　　)．

A．－ B．－ C. D.

4．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是(　　)．

A．
等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

5．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值是(　　)．

A. B. C. D．2

7．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 (　　)．

A．6 B．7 C．8 D．9

8．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 (　　)．

A. B．2 C.或2 D．3

9．动点P(x，y)满足5
＝|3x＋4y－7|，则点P的轨迹是 (　　)．

A．椭圆 B．双曲线 C
．抛物线 D．直线

10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆
C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)．

A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1

11．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值
为(　　)．

A. B．1 C. D．2

12．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)．

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二 填空题（每题5分，共20分）

13．命题“?x∈R，有|x|+|x+4|

14．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．

15．当a∈[0,4]时，不等式x2＋ax>4x＋a－3恒成立，则x取值范围是________．

16．已知圆O: x2＋y2
＝4与x轴交于A，B，过A，B，分别作圆的切线L1，L2，;P为圆上异于A，B的动点,过P作圆O的切线分别交L1，L2于D,C两点,直线AC交BD于点M,则M的轨迹方程是 ________．

三．解答题（本题共6题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(10分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时,函数y＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

18．(12分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝, (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.

19．(12分) 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)且(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上异于A,B的一点，若＝＋λ，求λ的值．

20
．(12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

21．(12分)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

22．(12分)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．[来源:Zxxk.Com]

许昌市五校联考高二第四次考试

理科数学参考答案

一选择题答案:　1-5:DADBA, 6-10:BCCDA, 11-12:BA

二填空题答案: 13: (－∞，－4] 14: 5

15: (－∞，-1)∪(3,+ ∞) 16:x2＋4y2＝4,(y≠0)或者(x≠±2)

三解答题答案:17题: 解　由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋≤，

要使此式恒成立，需<2，即c>， —————————————4分

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

当p假
q真时，c的取值范围是c≥1 ————————————8分

综上可知，c的取值范围是 —————————10分

18题:解　(1)由正弦定理，则＝，

所以＝， ————————————3分

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A

因此＝2 —————————————6分

由＝2，得c＝2a由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，

得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝2 —————————9分

因为cos B＝，且0

因此S＝acsin B＝×1×2×＝ —————————————12分

19题:解(1
)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝， —————————————3分

由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x. —————————————6分

(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；

设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝

(4λ＋1,4λ－2)， —————————————9分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0（舍去）所以：λ＝2. ——————12分

20题:解(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝

由条件可知q
＞0，故q＝ —————————————3分

由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝

故数列{an}的通项公式为an＝ —————————————6分

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an

＝－(1＋2＋…＋n)＝－
故＝－2 ————9分

＋＋…＋＝－2＝－ 所以数列的前n项和为－ ——————————12分

21题: (1)证明　设PA＝1，以A为原点，AB，AC
，AP所在直线为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略）．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(，0,0），S(1,,0), 所以＝，＝

因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN ——————————6分

＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．则

即令x＝2，得a＝(2,1，－2)

因为|cos〈a，〉|＝＝

所以SN与平面CMN所成角为45°
—————————————12分

22题: 解
　(1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，

即(x＋)(x－)＋y·y＝0

化简得＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1 ——————4分

(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，

由于直线与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ>0，即m2<3k2＋1 ① ——————————6分

(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，

从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，

又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN

则－＝－，即2m＝3k2＋1， ② ———————————8分[来源:Zxxk.Com]

将②代入①得2m>m2，解得0

由②得k2＝>0，解得m>，

故所求的m的取值范围是 —————————————10分

(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，

∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1

综上，当k≠0时，m的取值范围是，

当k＝0时，m的取值范围是(－1,1) —————————————12分