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许昌市五校联考高二第四次考试 文科数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题学校：许昌高中 命题人：李书平 审题人：胡银伟 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝{x||x|≤a，a＞0}，集合B＝{－2,－1,0,1,2}，且A∩B＝{－1,0,1}，则a的取值范围是 ( ) A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．(0，1] 2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n?α.则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数f(x)＝ax3＋2x＋1(a≠0)在x＝1处的切线方程为x＋y－m＝0，则实数a等于( ) A．1 B．－1 C．－2 D．3 4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将y＝sin的图像 ( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度[来源:Zxxk.Com] C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝λ＋μ，则的值为 ( ) A．1 B. C．2 D. 6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 ( ) A．8＋＋ B．4＋ C.＋ D．4＋＋ 7．若在区间[－5，5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为 ( ) A． B． C． D． 8．执行下边的程序框图，输出的S值为 ( ) A. B. C. D. 9．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy ( ) A．有最大值e B．有最小值e C．有最大值 D．有最小值 10．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于 ( ) A. B. C. D．1 11．已知函数f(x)＝2x－log x，实数abc满足0 A．x0＞c B．x0＜c C．x0＞a D．x0＜a 12．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为 ( ) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知关于x的不等式＜0的解集是（）∪（），则＝________． 14．已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则 k＝________． 15．在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1，0)，C(1，0)，顶点B在椭圆上，则的值为__________． 16．设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分) 已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式． 18．(本题满分12分) 如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．[来源:学§科§网] （1）求证：AF∥平面BCE； （2）设AB=1，求多面体ABCDE的体积． 19．（本题满分12分） 在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 20．（本题满分12分） 已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围． 21．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x<0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值； (3)当a>0时，求函数f(x)的零点个数． [来源:Z|xx|k.Com] 22．（本题满分12分） 已知点，直线与直线斜率之积为，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是曲线上任意两点，且，是否存在以原点为圆心且与总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 许昌市五校联考高二第四次考试 参考答案 一、选择题： BABAC ABABD CB 二、填空题： 13．-2 14．-6 15．2 16． 三、解答题 17．(1)【证明】因为an＝×()n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝. ……………………………5分 (2)【解】因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－ .[来源:Z_xx_k.Com] 所以{bn}的通项公式为bn＝－ . ……………………………10分 18．【解】（1）如图，取CE中点P，连结FP、BP， ∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=． 又AB//DE，且AB= ∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP． 又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE． ……………………6分 （2）∵直角梯形ABED的面积为，C到平面ABDE的距离为， ∴四棱锥C－ABDE的体积为．即多面体ABCDE的体积为． ……………………12分 19．【解】（1） ，又， ． ……………………………6分 （2）， ，为等腰三角形，．……………………12分 20．【解】(1) 由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a， ∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3.∴a－3＝－2.∴a＝1. ……………………4分 (2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)， φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2 则φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)． ……………………12分 21．【解】f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b． 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． ……………………2分 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，f′(3)＝3， 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0．……4分 (2)存在x<0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9， －a－1＝－x－＝(－x)＋(－)≥2＝6，a≤－7． 当且仅当x＝－3时，a＝－7．所以a的最大值为－7． ……………………7分 (3)当a>0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，a＋1) a＋1 (a＋1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 故f(x)的极大值f(0)＝a>0， f(x)的极小值f(a＋1)＝a－(a＋1)3＝－[a3＋3(a－)2＋]<0． 又f(－2)＝－a－<0，f(x)＝x2[x－(a＋1)]＋a，f((a＋1))＝a>0． 所以函数f(x)在区间(－2,0)，(0，a＋1)，(a＋1，(a＋1))内各有一个零点，故函数f(x)共有三个零点． ……………………12分 22．【解】（1）设， 则由直线与直线斜率之积为得，．整理得曲线的方程为，． ……………………3分 （2）若，则．设． ①若直线斜率不存在，则．由得：，又．解得直线方程为，原点O到直线的距离． ②若直线斜率存在，设方程为． 由得． 即， （*） 由得，整理得． 代入（*）式解得． 此时中． 此时原点O到直线的距离． 故原点O到直线的距离恒为． 存在以原点为圆心且与总相切的圆，方程为．……………………12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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