试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1．已知集合
，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为

A．
　B．
　C．
　D．

2．在下列命题中，不是公理的是

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是

A．
　B．
　C．
　D．

4．过点
且与直线
平行的直线方程是

A．
　　 B．
　　[来源:学_科_网]

C．
　　 D．

5．设
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命
题正确的是

A．若
，
，则
　B．若
，
，则

C．若
，
，则
　D．若
，
，则

6．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像

A．向左平移
个长度单位　　　B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位　　　D．向右平移
个长度单位

7．等比数列
，
，
，
的第四项等于

A．
　　B．

　　C．
　　D．

8．在
中，角A、B、C所对的边分别为
、
、
，若
，则
的形状为

A．锐角三角形　　B．直角三角形　

C．钝角三角形　　D．不确定

9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为
，则该几何体的体积为

A．
　　B．

C．
　　D．

10．已知点
、
、
、
，则向量
在
方向上的投影为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

11．设
是定义在实数集
上的函数，满足条件
是偶函数，且当
时，
，则
、
、
的大小关系是

A．
　　　B．

C．
　　D．

12．设函数
（
，
为自然对数的底数）．若存在
使
成立，则
的取值范围是

A．
　　B．
　　C．
　　D．

试卷II（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相

应的空内．

13．已知函数
，则
　＊＊＊　 ．

14．设变量
、
满足
，若直线
经过该可行域，则
的最大值为　＊＊＊　．

15．已知
三棱柱
的6个顶点都在球
的球面上，若
，
，
，则球
的体积为　＊＊＊　．

16．已知
，各项均为正数的数列
满足
，
，若
，则
的值是 ＊＊＊ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，

并写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知直线
被两直线
和
截得线段的中点为
，求直线
的方程．

18．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
，
，求
．

19．（本小题满分12分）

已知向量

，

，且
与
满足
，其中实数
．

（Ⅰ）试用
表示
；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时
与
的夹角
的值．

20．（本小题满分12分）

已知函数
，若存在
，使
，则称
是函数
的一个不动点．设二次函数
．

（Ⅰ）对任意实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
的图象上
两点的横坐标是
的不动点，且
两点关于直线
对称，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

如图，几何体
中，四边形
为菱形，
，
，面
∥面
，
、
、
都垂直于面
，且
，
为
的中点，
为
的中点．

(Ⅰ)求证：
为等腰直角三角形；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且
，设
．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）设
，
，若数列
的前
项和为
，求不超过
的最大的整数值．

石家庄一中2012级高二级部第一学期开学考试数学试卷

试卷Ⅰ（共 60 分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．

1．已知集合
，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（　C　）

A．
　B．
　C．
　D
．

2．在下列命题中，不是公理的是（　A　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（　D　）

A．
　B．
　
C．
　D．

4．过点
且与直线
平行的直线方程是（　D　）

A．
　　 B．
　　

C．
　　 D．

5．设
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（　B　）

A．若
，
，则
　B．若
，
，则

C．若
，
，则
　D．若
，
，则

6．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像（
　B　）

A．向左平移
个长度单位　　　B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位　　　D．向右平移
个长度单位

7．等比数列
，
，
，
的第四项等于（　A　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

8．在
中，角A、B、C所对的边分别为
、
、
，若
，则
的形状为(　B　)

A．锐角三角形　　B．直角三角形　

C．钝角三角形　　D．不确定

9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为
，则该几何体的体积为（　C　）

A．
　　B．

C．
　　D．

10．已知点
、
、
、
，则向
量
在
方向上的投影为（　A　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

11．设
是定义在实
数集
上的函数，满足条件
是偶函数，且当
时，
，则
、
、
的大小关系是（　D　）

A．
　　　B．

C．
　　D．

12．设函数
（
，
为自然对数的底数）．若存在
使
成立，则
的取值范围是（　B　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

试卷II（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相

应的空内．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

13．已知函数
，则
　***　 ．

14．设变量
、
满足
，若直线
经过该可行域，则
的最大值为　　　　．1

15．已知三棱柱
的6个顶点都在球
的球面上，若
，
，
，则球
的体积为
．

16．已知
，各项均为正数的数列
满足
，
，若
，
则
的值是 ．

【解析】由题意得，
，
，…，
，

∵
，且
＞0，∴
，易得
=
=…=
=
=
=
，

∴
+
=
+
=
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将
解答过程书写在答题纸上，

并写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学科网ZXXK]

17．（本小题满分10分）

已知直线
被两直线
和
截得线段的中点为
，求直线
的方程．

17解：设所求直线
与两直线
分别交于
，则

，　　　……………4分

又因为点
分别在直线
上，则

得
，即
解得
，

所求直线
即为直线
，所以
为所求．……………10分

18．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
，
，求
．

18解：(Ⅰ)
．

……………4分

(Ⅱ)

……………6分

因为
，
，所以
，…………8分

所以
，
…10分

所以


．……………12分

19．（本小题满分12分）

已知向量

，

，且
与
满足
，其中实数
．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（Ⅰ）试用
表示
；

（Ⅱ）求
的最小值，并求
此时
与
的夹角
的值．

解：（I）因为
，所以
，

，……3分

，

． …………6分

（Ⅱ）由（1）

，…………9分

当且仅当
，即
时取等号．
…………10分

此时，

，
，