一、选择。（每小题5分，共60分）

1．下列四个命题中的真命题是(　　)

A．?x∈R，x2＋3<0 B．?x∈N，x2≥1

C．?x∈Z，使x5<1 D．?x∈Q，x2＝3

2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)．

A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1

3． (ex＋2x)dx等于(　　)

A．1 B．e－1 C．e D．e＋1

4．直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是(　　)．

A．y2＝12x B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)

A．－ B. C．－  D.

6．过双曲线
的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若
，则此双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．2 D．

7．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值为(　　)． A．19 B．－ C． D．

8．椭圆C:
的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2
，则△
的周长是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)

A．直角三角形 B．等腰三角形 C.等腰直角三角形D．等边三角形

11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　)

A．0 B. C．－ D.

12．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是(　　)

A．30° B．45° C．60° D．75°

第二卷（共90分）

二．填空题（每小题5分共20分）

13．设
，则函数
的单调递增区间是________.

14．直线
与曲线
相切，则
的值为 .

15．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为__________．

16、
在
处有极大值，则常数的值为________

三．解答题

17．（10分）已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，

试求f(x)dx的值．

18．（12分）已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，左端点为

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
。

19. （12分）

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，

E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1

的中点.

（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；

（II）求二面角N—EF—M的平面角的正切值

20．（12分）已知函数

．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若对任意
，函数
在上都有三个零点，求实数
的取值范围．

21．（12分）已知函数
．

（1）若
，求
在
处的切线方程；

（2）若
在上是增函数，求实数的取值范围.

22．已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线与x轴平行,求a的值;

(Ⅱ)求函数
的极值.

高二数学试题理科答案

4．B　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由弦长结合抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝8．

又由AB的中点到y轴的距离可得＝2，代入上式可得p＝4，故抛物线方程为y2＝8x．

5解析：选B.

建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．

∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．

设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．

∵n⊥，n⊥，

∴∴

令y＝1，则n＝(－1,1,0)．

∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝.

6.【答案】C

【解析】

试题分析：因为
，所以是
的中点，设
，过焦点与渐近线
垂直的直线为
，故点的横坐标为
，直线
与
的交点的横坐标为
，由中点坐标公式有
，即
，解得
.

7．C　解析：＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，

||＝

＝

＝．

当x＝时，||取最小值．

8. 【答案】A

【解析】

试题分析：根据椭圆的定义和三角形中位线定理可得 OM+ON+PM+PN= PF1+PF2=2a，即2a=2
，解得a=
，由
，所以c=
，△
的周长= PF1+PF2+2c=
，故选A.

9【答案】B

【解析】

试题分析：由已知得
，
，所以
，所以

10解析：选B.∵＋－2＝(－)＋(－)＝＋，

∴(＋)·(－)＝||2－||2＝0，

∴||＝||.

11解析：

选A.建立如图坐标系，则D1(0,0，3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，

C(0,2,0)，

∴＝(－2，－2,3)，

＝(－2,2,0)．

∴cos〈，〉＝＝0.

∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.

12解析：选A.

如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(2a, 0,0)，

＝，＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.

13【答案】

【解析】

试题分析：令
，因为
，故
，所以单调增区间为

14【答案】-3

15．－2　解析：由题可知A1(－1，0)，F2(2，0)．

设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．

∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，

∴当x＝1时，·取得最小值－2．

16答案：6

17．【解】　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，

∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，

∴f′(2)＝4＋2f′(2)，

∴f′(2)＝－4，

∴f(x)＝x2－8x＋3，

∴f(x)dx＝(x3－4x2＋3x)0＝－18.

18、（1）
（2）
试题分析：解：（1）因为抛物线的焦点为
，
??????? 2分又椭圆的左端点为

????????? 4分则
????????? 6分
所求椭圆的方程为
?????? 7分⑵∴椭圆的右焦点
，∴
的方程为：
，????? 9分代入椭圆C的方程，化简得，
????????? 10分由韦达定理知，
???????? 12分从而
?由弦长公式，得
，即弦AB的长度为
???????? 14分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是利用联立方程组，结合韦达定理来求解，属于基础题。

19（1）根号下5 （2）根号6 除以3

20答案】（1）详见解析；（2）实数
的取值范围是
.

试题解析：（1）∵
，∴
．

当
时，
函数
没有单调递增区间；

当
时，令
，得
．函数
的单调递增区间为
；

当
时，令
，得
． ，函数
的单调递增区间为
． …6分

（2）由（1）知，
时，
的取值变化情况如下：

















0



0









极小值



极大值





∴
，
， 8分

∵对任意
，
在上都有三个零点，

∴
，即
得
…10分

∵对任意
，
恒成立，∴

∴实数
的取值范围是
． 12分

21考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的零点个数

【答案】（1）故曲线
在
处的切线方程为
；（2）