一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是 ( )

A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆

C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线

2.关于x的不等式ax2-ax+1>0恒成立的一个必要不充分条件是 ( )

A.0(a<4 B.04或a<0

3.已知椭圆方程+=1,椭圆上点M到该椭圆一个焦点F的距离是2,N是MF的中点,O是椭圆的中心,那么线段ON的长是 ( )

A.2 B.4 C.8 D.

5.已知＝(2,-1,3),＝(-1,4,-2),＝(3,2,λ),若、、三向量共面,则实数λ等于 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

4.在下列命题中：①若、共线,则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面；③若、、三向量两两共面,则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z.其中真命题的个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面ADD1A1的中心,Q为DCC1D1的中心,则向量,夹角的余弦值为 ( )

A. B.- C. D.-

7.若抛物线y2=x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2＝-1,则实数b的值为 ( 　)

A.-3　　　　B.3 C.2 D.-2

8.设P为椭圆+上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为 ( )

A.1 B.2 C. D.

9.在平面斜坐标系xoy中(xoy=45(,点P的斜坐标定义为：“若=x0+y0(其中,分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”．若F1(-1,0), F2(1,0),且动点M(x,y)满足||=||,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为 ( )

A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.x+y=0

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点, F是侧面BCC1B1内的动点, 且A1F//平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是 ( )

A.{t|(t(2} B.{t|(t(2} C.{t|2(t(2} D.{t|2(t(2}

二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)

11.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=(x,则该双曲线的离心率e= .

12.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若=x+y+z,则x＋y＋z＝ .

13如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,P是底面A1B1C1D1的中心,M是CD的中点,则P到平面AMD1的距离为 .

14.△ABC的顶点B(-4,0),C(4,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=1上,则顶点C的轨迹方程是 .

15.已知直线x=3与双曲线C：-=1的渐近线交于E1,E2两点,记=,=,任取双曲线上的点P,若=a+b(a,b(R),则下列关于a,b的表述：

①4ab=1 ②0

其中正确的是 .

三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)

16.(本小题满分12分)已知命题p：1-a·2x(0在x((-∞,0]恒成立,命题q：(x(R,

ax2-x+a>0.若命题p或q为真,命题p且q为假,求实数a的范围.

17.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(Ⅰ)证明:PA//平面EDB；

(Ⅱ)证明:PB⊥平面EFD；

(Ⅲ)求二面角C-PB-D的大小.

18.(本小题满分12分)已知点E(1,0),⊙E与直线4x+3y+1=0相切,动圆M与⊙E及y轴都相切,切点不为原点.

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点E任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向⊙E各引一条切线,切点?分别为P,Q,记α=∠PAE,β=∠QBE.求证sinα+sinβ是定值.

19. (本小题满分14分) 已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的,且M的中心和M的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中：

x

3

-2

4





y

-2

0

-4





(Ⅰ)求M,N的标准方程；

(Ⅱ)已知定点A(1,),过原点O作直线l交椭圆M于B,C两点,求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程.

20.(本小题满分14分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB//EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.

(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小；

(Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60(?



21.(本小题满分14分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E,它的离心率为,一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,过直线l:x=4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是A,B.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若在椭圆+=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是+=1.求证:直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标.

(Ⅲ)是否存在实数λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC||BC|恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.



16.(本小题满分12分)

解：命题p：1-a·2x≥0在上恒成立.

即：在上恒成立.

∵,

∴

即命题, 3分

命题q：(x(R,ax2-x+a>0.

显然当时,不合题意,则:

即

∴命题, 7分

∵p或q为真,p且q为假

∴p和q一真一假,

∴或即 11分

∴a的取值范围为：. 12分

17.(本小题满分14分)

解：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设
1分

(1)证明：连结AC,AC交BD于G.连结EG.

依题意得

∵底面ABCD是正方形,

∴G是此正方形的中心,

故点G的坐标为
且

∴
即PA//EG.

而
平面EDB且
平面EDB,

∴PA//平面EDB. 5分

(2)证明：依题意得
.又

故

, 由已知
,且

所以
平面EFD. 9分

18.(本小题满分12分)

解：(1)⊙E的半径r==1

∴⊙E的方程为(x-1)2+y2=1,

由题意动圆M与⊙E及y轴都相切,分以下情况：

作MH⊥y轴于H,则|MF|-1=|MH|,即|ME|=|MH|+1,

过M作直线x=-1的垂线MN,N为垂足,

则|MF|=|MN|,

∴点M的轨迹是以E为焦点,x=-1为准线的抛物线,

∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0). 6分

(2)当l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,

∴sinα+sinβ=+=+==1

当l与x轴垂直时,也可得sinα+sinβ=1, 11分

综上,有sinα+sinβ=1. 12分

19.(本小题满分14分)

解：(1)设抛物线M：y2=2px(p≠0),则有=2p(x(0)

据此验证4个点知(3,-2),(4,-4)在抛物线上,

∴N的标准方程为y2=4x．…2分

设M：+=1(a>b>0),把点(-2,0),(,)

代入得：,解得

∴M的标准方程为+y2=1 6分

(2)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,则S△ABC=1

当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,

联立得,消y得x2=

不妨设B(,),C(-,-),

∴|BC|== 9分

∵点A到直线BC的距离d=

∴S△ABC=|BC|(d=== 12分

令t=,则4tk2-4k+t=0,

由△k=16-16t2(0得-1(t(1

∴当=-1时,面积取得最大值,此时k=-.

综上所述,当直线的方程为y=-x时,△ABC的面积取得最大值 14分

20. (本小题满分14分)

(I)证明：平面
平面
,
,

平面
平面
=
,

平面
.

平面
,
,…………2分

又
为圆
的直径,
,

平面
. …………3分

平面
,平面
平面
. …………4分

(II)根据(Ⅰ)的证明,有
平面
,

为
在平面
内的射影,

因此,
为直线AB与平面
所成的角 ……………6分

,四边形
为等腰梯形,

过点F作
,交AB于H.

,
,则
.

在
中,根据射影定理
,得
. …………8分

,
.

直线AB与平面
所成角的大小为
. …………9分

(Ⅲ)设
中点为
,以
为坐标原点,
、
、
方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系(如图).设

,则点的坐标为
则
,又

…………10分

设平面
的法向量为
,则
,
.

即
令
,解得

………………12分

由(I)可知
平面
,取平面
的一个法向量为
,

依题意
与
的夹角为

,即
, 解得t=

∴当AD的长为时,面DFC与面FCB所成的锐二面角的大小为60(……14分

21. (本小题满分14分)

解： (I)设椭圆方程为+=1(a>b>0).

∵抛物线
的焦点是
,

∴故
,

又
,所以