海南中学2013—2014学年第一学期期中考试

高二数学理科试卷（试题）

（1-15班用）

第一卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．下列全称命题为真命题的是

A．所有被3整除的数都是奇数 B．

C．无理数的平方都是有理数 D．所有的平行向量都相等

2．椭圆
的焦距为A．2 B．3　 C．
D．4

3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是常数”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

4．已知向量
=(2,4,5),
=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则

A．x=6, y=15 B．x=3, y=
C．x=3, y=15 D．x=6, y=

5．抛物线
的准线方程为

A．
B．
C．
D．

6．已知M(2,0)，N(2,0)，|PM||PN|=2，则动点P的轨迹是

A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线

7．下列命题错误的是

A．命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x-m=0无实根，则m≤0”；

B．“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件；

C．对于命题p∶
∈R，使得
+
+1<0；则﹁p是
x∈R，均有x2+x+1≥0；

D．命题“若xy=0，则x,y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0，则x,y都不为零”

8．已知方程
和
，它们所表示的曲线可能是

A． B． C． D．

9．已知抛物线
上，定点
,
为抛物线的焦点，
为抛物线上的动点，则
的最小值为

A． B． C． D．

10．已知双曲线
(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=
x,它的一个焦点在抛物线

A．
B．
C．
D．

11．在空间直角坐标系中，已知A(2,3,1), B(4,1,2) ,C(6,3,7), D(
)，DH⊥平面ABC，垂足为H，直线DH交平面xOy于点M，则点M的坐标是

A．(4,7,0) B．(7,4,0) C．(4,7,0) D．(7, 4,0)

12．椭圆
（

）的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线与椭圆的一个交点为
，若
垂直于
，则椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

第二卷（非选择题，共90分）

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数最多为 ▲ ．

14．若
为坐标原点，
，
，
，则线段
的中点到
的距离为 ▲ ．

15．已知P(4,2)是直线
被椭圆
所截得的线段的中点，则
的方程是 ▲ ．

16．已知双曲线
的离心率为2．若抛物线

的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为 ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）在抛物线
上求一点，使这点到直线
的距离最短．

18．（本题满分12分）已知命题
关于的一元二次不等式
对
恒成立；命题
函数
是增函数．

若
为真命题，
为假命题，求实数
的取值范围．

19．（本题满分12分）已知
是椭圆
的两个焦点，过
的弦AB，若
的周长为16，离心率
．

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程及其焦点坐标；

(Ⅱ)若A1,A2是椭圆长轴上的两个顶点，P是椭圆上不同于A1,A2的任意一点．求证：直线A1P与直线A2P的斜率之积是定值．

20．（本题满分12分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为
．

(Ⅰ)求CP的长；

(Ⅱ)求直线AD与平面APD1所成的角
的正弦值；

(Ⅲ)请在正方体的棱上找到所有满足C1M∥平面APD1的点M，写出点M的位置，不需要证明．

21．（本题满分12分）已知双曲线
，
是它的两个焦点．

(Ⅰ)求与C有共同渐近线且过点(2,
)的双曲线方程；

(Ⅱ)设P是双曲线C上一点，
，求
的面积．

22．（本小题满分12 分）已知两点
及
，点在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，

． 求四边形
面积
的最大值．

海南中学2013—2014学年第一学期期中考试高二数学（理科）

参考解答与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

D

A

C

D

B

A

C

B

D





二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．4； 14．
； 15．x+2y8=0； 16．
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）在抛物线
上求一点，使这点到直线
的距离最短．

17．解：设点
，距离为，

当
时，取得最小值
，此时
为所求的点．

18．（本题满分12分）已知命题
关于的一元二次不等式
对
恒成立；命题
函数
是增函数．

若
为真命题，
为假命题，求实数
的取值范围．

18．解：命题

对
恒成立，则

，即

命题
函数
是增函数，则有
，即

或
为真命题，
且
为假命题，
一真一假

即
真
假或者
假
真，所以
，

解得
．

19．（本题满分12分）已知
是椭圆
的两个焦点，过
的弦AB，若
的周长为16，离心率
．

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程及其焦点坐标；

(Ⅱ)若A1,A2是椭圆长轴上的两个顶点，P是椭圆上不同于A1,A2的任意一点．求证：直线A1P与直线A2P的斜率之积是定值．

19．解：(Ⅰ)∵
，又
，∴
，

故该椭圆的标准方程为：
，焦点坐标为：
；

(Ⅱ)设
，则
，

故
．

20．（本题满分12分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为
．

(Ⅰ)求CP的长； (Ⅱ)求直线AD与平面APD1所成的角
的正弦值；

(Ⅲ) 请在正方体的棱上找到所有满足C1M∥平面APD1的点M，写出点M的位置，不需要证明．

20．解：(Ⅰ)依题意，AD⊥平面CPD1，AD=DD1=2，

∴
，（2分）∴CP=1．（4分）

(Ⅱ)以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得A(0,0,0)、D（0,2,0）、P（1,2,0）、D1(0,2,2)、

设平面APD1的一个法向量
，则
，令x=2，得平面APD1的一个法向量为
． ………… 8分

所以
，故直线AD与平面APD1所成角
的正弦值为
．

………… 10分

(Ⅲ)满足条件的点M位于线段A1B1中点或者B点． ………… 12分

21．（本题满分12分）已知双曲线
，
是它的两个焦点．

(Ⅰ)求与C有共同渐近线且过点(2,
)的双曲线方程；

(Ⅱ)设P是双曲线C上一点，
，求
的面积．

21．解：(Ⅰ)双曲线与
有共同双曲线，可设为
，又过点
，

得
，故双曲线方程为
，即
；

(Ⅱ) ∵
，
，

∴
．

22．（本小题满分12 分）已知两点
及
，点在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅

有一个公共点，点
是直线
上的两点，且
，

． 求四边形
面积
的最大值．

22.解：（1）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，
，
．

又
，
．椭圆
的方程为
． ……………………4分

(2) 将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
． ……………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
． …………………………7分

设
，
， …………………………8分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，

，

，……10分

，当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
． ……………………………12分

（法二）
，

．

．

四边形
的面积

， ………10分

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
． ……………………12分