注意：须把本试卷的所有答案填写在答题纸上

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知命题

，则命题的否定
为

A．
B.

C.
D.

2. 已知平面，直线
，直线m?，则“直线
∥”是“
∥m”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 圆
过点
的最短弦所在直线的斜率为

A.2 B.-2 C.
D.

4. 过
点且与曲线
相交所得弦长为
的直线方程为

A．
B．
或

C．
或
D．
或

5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是　　

A．
B．
C．
D．

6．设抛物线
的焦点F是双曲线
右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为

A．
B．
C．
D .

7. 如果直线
与圆
相切，那么
的最大值为

A. 1 B.
C. 2 D.

8.设表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥，a⊥b，则b⊥；②若a∥b，a⊥，则b⊥；③若a⊥，a⊥b，则b∥；④若a⊥,b⊥,则a∥b．其中为假命题的是

A．②③　　　　 B．　①③　　　　　 C．②④　　　 D．①③④

9. 已知定直线l与平面成60°角,点P是平面内的一动点，且点p到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是

A.圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆

10. 已知
分别是双曲线

的左、右焦点，过点
垂直于轴的直线与双曲线交于
两点，若
为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）

11．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝___▲___.

12. 已知命题
不等式
的解集是R，命题
在区间
上是减函数，若命题“
”为真，则实数的范围是___▲___.

13. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 ▲ .

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ▲ .

15. 已知恒过定点(1,1)的圆C截直线
所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为 ▲ .

16.设双曲线
的一条渐近线与抛物线y=x
+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ▲ .

17. 如图，正方体
棱长为1，点
，
，且
，有以下四个结论：

①
,②
；③
平面
；④
与
是异面直线.其中正确结论的序号是__▲___ (注：把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共5小题，满分42分）

18.（本小题满分8分）

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

19. （本小题满分8分）

如右图为一组合几何体，其底面
为正方形，
平面
，
，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

20．（本小题满分8分）

已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．

21. （本小题满分9分）

如图，四棱锥
中，侧面
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点.

(Ⅰ)求
与底面
所成角的大小；

(Ⅱ)求证：
平面
；

(Ⅲ)求二面角
的余弦值.

22. （本小题满分9分）

已知椭圆
、抛物线
的焦点均在轴上，
的中心和
的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x

3



4









0







 (Ⅰ)求
，
的标准方程；

(Ⅱ)请问是否存在直线
满足条件：①过
的焦点；②与
交于不同两点
，
，且满足
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

2013年高二（上）期末考试卷（数学（文科））

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知命题

，则命题的否定
为（ ）

A．
B.

C.
D.

答案：D

2. 已知平面，直线
，直线m?，则“直线
∥”是“
∥m”的（　 　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

答案：B

3. 圆
过点
的最短弦所在直线的斜率为（ ）

A.2 B.-2 C.
D.

答案：C

4. 过
点且与曲线
相交所得弦长为
的直线方程为( )

A．
B．
或

C．
或
D．
或

答案：C

5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

　　A．
B．
C．
D．

答案：C

6．设抛物线
的焦点F是双曲线
右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为 ( )

A．
B．
C．
D .

7. 如果直线
与圆
相切，那么
的最大值为 （ ）

A. 1 B.
C. 2 D.

答案：D

8.设表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥，a⊥b，则b⊥；②若a∥b，a⊥，则b⊥；③若a⊥，a⊥b，则b∥；④若a⊥,b⊥,则a∥b．其中为假命题的是（ ）

A．②③　　　　 B．　①③　　　　　 C．②④　　　 D．①③④

答案：B

9. 已知定直线l与平面成60°角,点P是平面内的一动点，且点p到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是（ ）

A.圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆

答案：D

10. 已知
分别是双曲线

的左、右焦点，过点
垂直于轴的直线与双曲线交于
两点，若
为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

答案：D

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）

11．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

答案　1

12. 已知命题
不等式
的解集是R，命题
在区间
上是减函数，若命题“
”为真，则实数的范围是______.

答案：

13. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 .

答案：

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 .

答案：

15. 已知恒过定点(1,1)的圆C截直线
所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为 .

答案：

16.设双曲线
的一条渐近线与抛物线y=x
+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 .

答案：

17. 如图，正方体
棱长为1，点
，
，且
，有以下四个结论：

①
,②
；③
平面
；④
与
是异面直线.其中正确结论的序号是________ (注：把你认为正确命题的序号都填上）

答案：①③

三、解答题（本大题共5小题，满分42分）

18.（本小题满分8分）

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

19. （本小题满分8分）

如右图为一组合几何体，其底面
为正方形，
平面
，
，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

解：（2分+3分+3分）

20．（本小题满分8分）已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．

解　(1)依题意得|F1F2|＝2，

又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，

∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.

∴所求椭圆的方程为＋＝1. ----------3分

(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，

∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan 120°，

即y＝－(x＋1)．----------4分

解方程组

并注意到x<0，y>0，可得 ----------6分

∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝. ----------8分

21. （本小题满分9分）

如图，四棱锥
中，侧面
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点.

(Ⅰ)求
与底面
所成角的大小；

(Ⅱ)求证：
平面
；

(Ⅲ)求二面角
的余弦值.

解：（3分+3分+3分）

(III)
．

令平面BMC的法向量
，

则
，从而x+z=0； ……①,

，从而
． ……②

由①、②，取x=?1，则
． ∴可取
．

由(II)知平面CDM的法向量可取
，

∴
．

∴所求二面角的余弦值为－
．

法二：（Ⅰ）方法同上

（Ⅱ）取
的中点
，连接
，由（Ⅰ）知，在菱形
中，由于
，则
，又
，则
，即
，

又在
中，中位线

，
，则
，则四边形
为
，所以
，在
中，
，则
，故
而
，

则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
，则
为二面角
的平面角，在

中，易得

，
，

故，所求二面角的余弦值为

22. （本小题满分9分）

已知椭圆
、抛物线
的焦点均在轴上，
的中心和
的顶点均为原点
，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x

3



4









0







 (Ⅰ)求
，
的标准方程；

(Ⅱ)请问是否存在直线
满足条件：①过
的焦点；②与
交于不同两点
，
，且满足
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

(Ⅱ)假设存在这样的直线
，设其方程为
，两交点坐标为
，

由
消去，得
，

①

，②----------6分

，
③

将①②代入③得，
解得
----------8分

所以假设成立，即存在直线
满足条件，且
的方程为
或
．----------9分