考试时间100分钟 满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．直线
的倾斜角为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．命题
“直线
上不同的两点
到平面的距离为”，命题
“
”，则是的（ ）条件

（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D）既不充分也不必要

3．直线
与圆
的位置关系是（ ）

（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）与实数的大小有关

4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

（A） （B） （C）
（D）

5．已知实数
满足：
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6．对于平面和两条不同的直线、,下列命题是真命题的是（　　）

（A）若
与所成的角相等,则
（B）若
则

（C）若
,则
（D）若
,则

7．已知双曲线

的一个焦点与抛物线
的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8．过点
的直线
与坐标轴分别交
两点，如果三角形
的面积为4，则满足条件的直线
最多有（ ）条

（A） （B） （C）
（D）

9．在空间直角坐标系中，已知
，则四面体
的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．如图，棱长为1的正方体
，点
在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点
在三角形
的外接圆上运动，则线段
长度的最小值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上.

11．命题：直线
与直线
垂直；命题
：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题
为 命题（填真或假）.

12．若圆
以抛物线
的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是__ ___.

13．如图，在直三棱柱
中，
,
,

，若
分别是
的中点，则异面直线
与
所成的角的大小为 .

14．椭圆
的离心率为
，则实数的值为 .

15. 过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点,则
的最小值是_ .

16. 如图,已知球
的面上有四点
,
平面
,
,

,则球
的体积与表面积的比值为__________.

17.已知椭圆
的右焦点为，过作斜率为
的直线与椭圆交于
两点，若
，则椭圆的离心率的取值范围是 .

2013学年第一学期

杭州二中高二年级数学（理科）期末答卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上.

11. 12. 13.

14. 15 16.

17.

三、解答题：本大题共4小题，共42分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

18．（本大题满分10分）已知直线
与曲线
.

（Ⅰ）若直线
与直线
垂直，求实数的值；

（Ⅱ） 若直线
与曲线
有且仅有两个交点，求实数的取值范围.

19．（本大题满分10分）已知四面体
，
，且平面
平面
.

（Ⅰ）若
，求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的正切值.

20．（本大题满分10分）已知四边形
是菱形，
，四边形
是矩形，平面
平面
，
分别是
的中点.

(Ⅰ)求证：平面
平面
；

(Ⅱ)若平面
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成的角的正弦值.

21. （本大题满分12分）设点
到直线
的距离与它到定点
的距离之比为
，并记点的轨迹为曲线
.

(Ⅰ)求曲线
的方程；

(Ⅱ)设
，过点
的直线
与曲线
相交于
两点，当线段
的中点落在由四点
构成的四边形内(包括边界)时，求直线
的斜率的取值范围.

高二理科期末答案

14．
或

15．

16．

17．

18．（Ⅰ）直线
的斜率
，直线
的斜率

∴
4分

（Ⅱ）∵
，∴
恒过点

又∵曲线
是单位圆在轴的上方部分

且直线
与曲线
有且仅有两个交点，先求直线
与曲线
相切时的斜率与点
与点
连线的斜率

当直线
与曲线
相切，即

经检验知

而
，所以
10分

19．（Ⅰ）∵

∴

∴
，取
中点
，

则

∴
平面
，

∴
4分

（Ⅱ）过点作
交
延长线于
。过
作
于
，连结

∵平面
平面
，∴
平面
，∴

根据三垂线定理知，
为二面角
的平面角

由已知可知
，设
，则

在
中，
，∴

∴ 二面角
的正切值为
10分

注：用空间向量做，酌情给分。

20．解: (Ⅰ)
分别是
的中点

所以
------------①

连接
与
交与
,因为四边形
是菱形,所以
是
的中点

连
,
是三角形
的中位线

---------②

由①②知,平面
平面
4分

(Ⅱ)
平面
平面
,所以
平面

取
的中点
,
平面
,

建系

设
,

则

设平面
的法向量为

,所以

平面
的法向量

,所以

所以
,设直线
与平面
所成的角为

10分

注：用几何法做酌情给分

21．解:(Ⅰ)由题意
,

整理得
,所以曲线
的方程为
4分

(Ⅱ)显然直线的斜率
存在,所以可设直线的方程为
.

设点
的坐标分别为
线段
的中点为

,

由

得

由
解得
.(1)