一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知命题

，则命题的否定
为

A．
B.

C.
D.

2. 已知平面，直线
，直线m?，则“直线
∥”是“
∥m”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 圆
过点
的最短弦所在直线的斜率为

A.2 B.-2 C.
D.

4. 过
点且与曲线
相交所得弦长为
的直线方程为

A．
B．
或

C．
或
D．
或

5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

　　A．
B．
C．
D．

6．设抛物线
的焦点F是双曲线
右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为

A．
B．
C．
D .

7. 如果直线
与圆
相切，那么
的最大值为

A. 1 B.
C. 2 D.

8. 已知集合
,集合
,集合
，若
，则下列命题中正确的是

A.
B.
C.
D.

9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，点M在棱AB上，且
,点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为１，则点P的轨迹是

A. 抛物线　 B. 双曲线 C. 直线　　 D. 以上都不是

10. 设
、
分别为具有公共焦点
、
的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足
,则
的值为

A.
B.2 C.
D.1

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）

11．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝__▲___.

12. 已知命题
不等式
的解集是R，命题
在区间
上是减函数，若命题“
”为真，则实数的范围是__▲__.

13. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 ▲ .

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ▲ .

15. 已知正方形
的坐标分别是
,
,
，
，动点M满足：
则
▲

16.设
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在一点，为
的内心，使
，则该椭圆的离心率等于 ▲ .

17．已知平行六面体
，
与平面
，
交于
两点。给出以下命题，其中真命题有___▲___(写出所有正确命题的序号)

①点
为线段
的两个三等分点；

②
；

③设
中点为
，
的中点为
，则直线
与面
有一个交点；

④为
的内心；

⑤若
,则三棱锥
为正三棱锥，且
.

三、解答题（本大题共5小题，满分42分）

18.（本小题满分8分）

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

19. （本小题满分8分）

如右图为一组合几何体，其底面
为正方形，
平面
，
，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

20. （本小题满分8分）

如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．

21. （本小题满分9分）

如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为菱形，
，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2。

（I）求证：AD平面PQB；

（II）点M在线段PC上，PM=tPC，当PA//平面MQB时，求t的值；

（III）若PA//平面MQB，平面PAD平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小。

22. （本小题满分9分）

已知椭圆
：
的右顶点为
，过
的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆
的方程；

（II）设抛物线
：
的焦点为F，过F点的直线
交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线
的切线交于Q点，且Q点在椭圆
上，求
面积的最值，并求出取得最值时的抛物线
的方程。

2013年高二（上）期末考试卷（数学理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知命题

，则命题的否定
为（ ）

A．
B.

C.
D.

答案：D

2. 已知平面，直线
，直线m?，则“直线
∥”是“
∥m”的（　 　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

答案：B

3. 圆
过点
的最短弦所在直线的斜率为（ ）

A.2 B.-2 C.
D.

答案：C

4. 过
点且与曲线
相交所得弦长为
的直线方程为( )

A．
B．
或

C．
或
D．
或

答案：C

5．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

　　A．
B．
C．
D．

答案：C

6．设抛物线
的焦点F是双曲线
右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为 ( )

A．
B．
C．
D .

答案：B

7. 如果直线
与圆
相切，那么
的最大值为 （ ）

A. 1 B.
C. 2 D.

答案：D

8. 已知集合
,集合
,集合
，若
，则下列命题中正确的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

答案：B

9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，点M在棱AB上，且
,点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为１，则点P的轨迹是（　 ）

（A）抛物线　 （B）双曲线 （C）直线　　 （D）以上都不是

答案：A

10. 设
、
分别为具有公共焦点
、
的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足
,则
的值为（ ）

A.
B.2 C.
D.1

答案：A　

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）

11．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

答案　1

12. 已知命题
不等式
的解集是R，命题
在区间
上是减函数，若命题“
”为真，则实数的范围是______.

答案：

13. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 .

答案：

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 .

答案：

15. 已知正方形
的坐标分别是
,
,
，
，动点M满足：
则

答案：

16.设
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在一点，为
的内心，使
，则该椭圆的离心率等于 .

答案：

17．已知平行六面体
，
与平面
，
交于
两点。给出以下命题，其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)

①点
为线段
的两个三等分点；

②
；

③设
中点为
，
的中点为
，则直线
与面
有一个交点；

④为
的内心；

⑤若
,

则三棱锥
为正三棱锥，且
.

答案：①⑤

三、解答题（本大题共5小题，满分42分）

18.（本小题满分8分）

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.

(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

19. （本小题满分8分）

如右图为一组合几何体，其底面
为正方形，
平面
，
，且

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

解：（2分+3分+3分）

20. （本小题满分8分）

如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．

解　(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，

所以e＝. ----------2分

(2)方法一　a2＝4c2，b2＝3c2，

直线AB的方程为y＝－(x－c)，----------3分

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，----------5分

所以|AB|＝·＝c. ----------6分

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，

解得a＝10，b＝5. ----------8分

方法二　设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.

由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.

由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40 知，

a＝10，b＝5.

21. （本小题满分9分）

解：（3分+3分+3分）

22. （本小题满分9分）

已知椭圆
：
的右顶点为
，过
的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆
的方程；

（II）设抛物线
：
的焦点为F，过F点的直线
交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线
的切线交于Q点，且Q点在椭圆
上，求
面积的最值，并求出取得最值时的抛物线
的方程。

解：（I）由题意得
所求的椭圆方程为
----------3分

（II）令

设切线AQ方程为
代入
令
可得

抛物线
在点A处的切线斜率为

所以切线AQ方程为:

同理可得BQ方程为:
----------5分

联立

解得Q点为

焦点F坐标为(0,
), 令l方程为:
代入
：

得:
由韦达定理有：

所以Q点为

过Q作y轴平行线交AB于M点， 则

M点为
,

,

----------7分

而Q点在椭圆上,

----------9分