玉溪一中2013——2014学年上学期高2015届数学

（理科）期末考试题

命题人：吴志华

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 抛物线
的焦点坐标为 ( )

A.
B.
C.
D.

3. 已知双曲线
的离心率
，则它的渐近线方程为( )

A.
B.
C.
D.

4. 三个数
的大小关系为 ( )

A.
B.

C.
D.

5. 已知
，
，则是成立的 ( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知向量
满足
，则向量
的夹角为 ( )

A．
B．
C．
D．

7. 已知两个不同的平面
和两条不重合的直线
，则下列命题不正确的是 （ ）

A.若

则
B. 若

则

C.若
，

，则
D.若
,
，则

8. 若
，是第三象限的角，则
等于( )

A．
B.
C. -2 D. 2

9. 已知四棱锥
的三视图如右图，

则四棱锥
的全面积为( )

A．
B．

C． 5 D． 4

10. 某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（　　）

A．这种抽样方法是一种分层抽样.

B．这种抽样方法是一种系统抽样.

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.

11.椭圆
，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线
的距离为
，则该椭圆的离心率为（ 　　）

A.
B.
C.
D.

12. 定义域为的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
至少有三个零点，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设变量
满足约束条件
，则
的最大值是 .

14. 根据如图所示的程序框图，若输出的值为4，则输入的值为______________.

15. 下列说法：

① “
，使
>3”的否定是“
，使
3”；

② 函数
的最小正周期是；

③ “在
中，若
，则
”的逆命题是真命题；

④ “
”是“直线
和直线
垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）.

16.
的内角
的对边分别为
，若

，则=______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题满分10分）已知数列
是等差数列，且
.

（1）求数列
的通项公式; （2）令
，求数列
前n项和
.

18.（本题满分12分） 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用
表示编号为（
）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：70,76,72,70,72.

(1)求第6位同学的成绩
，及这6位同学成绩的标准差；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

19.（本题满分12分）已知以角为钝角的
的内角
的对边分别为、
、，
，且
与
垂直。

（1）求角的大小；

（2）求
的取值范围．

20. （本题满分12分）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是平行四边形，
， 是
的中点。

（1）求证：
；

（2）求证：
；

（3）若
，求二面角
的余弦值．

21. （本题满分12分）已知
为椭圆

的左右焦点，
是坐标原点，过
作垂直于轴的直线
交椭圆于
，设
.

（1）证明：
成等比数列；

(2)若
的坐标为
，求椭圆
的方程；

（3）在(2)的椭圆中，过
的直线
与椭圆
交于、两点，若
，求直线
的方程．

22.（本题满分12分）已知函数
是偶函数.

（1）求
的值；

（2）设
，若函数
与
的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

玉溪一中2013——2014学年上学期高2015届数学

（理科）期末考试题参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

C

A

A

B

D

A

B

C

C

B



13. 5 14.
或1 15. ①②③ 16.

17．解：（1）由已知
………………………5分

（2）

………………………10分

18、解：(1)∵
＝75，

∴
＝6×75－70－76－72－70－72＝90，………………………2分

s2＝(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，

∴s＝7. ………………………4分

(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．…8分

选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：

{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，………………………10分

故所求概率为.………………………12分

19. 解：（1）∵
垂直
，∴
…………………1分

由正弦定理得
……………3分

∵
，∴
， 又∵∠B是钝角，∴∠B
……………6分

（2）

…9分

由（1）知A∈（0，
），
, …………………10分

，（6分） ∴
的取值范围是
……12分

20. 解：（1）证明：连接AC交BD于F，连结EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，又E为SC的中点，所以SA∥EF，∵SA(平面BDE，EF(平面BDE，

∴SA∥平面BDE．……………4分

（2）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30(，由余弦定理得

∵
　　　∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AD(平面 ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SB(平面SBD，

∴AD⊥SB．……………8分

（3）取CD的中点G，连结EG，FG，

则EG⊥平面BCD，且EG＝1，FG∥BC，且FG＝

∵AD⊥BD, AD∥BC，∴FG⊥BD，又∵EG⊥BD ∴BD⊥平面EFG，

∴BD⊥EF，故∠EFG是二面角E—BD—C的平面角

在Rt△EFG中

∴
……………12分

21. (1)证明：由条件知M点的坐标为
，其中
，

，
，即
成等比数列．………3分

(2)由条件知
，

椭圆方程为
…6分

所以
由
得

22. 解： (1)∵函数　f(x)＝
(
＋1)＋kx(k∈R)是偶函数

∴　f(－x)＝
(
＋1)－kx＝
－kx＝
(4x＋1)－(k＋1)x＝
(4x＋1)＋kx恒成立

∴－(k＋1)＝k，则k＝－ ———————4分

(2)g(x)＝
(a·
－a)，

函数　f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程　f(x)＝g(x)只有一个解

由已知得
(4x＋1)－x＝
(a·
－a)

∴
＝
(a·
－a)

———————8分

设
。若