2013～2014学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科)

命题人： 安道波 何艳国 董小明 校对人： 安道波

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效．

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为(　　)

（A）(1,3,2) （B）(-1，-3,2) （C）(-1,3，-2) （D）(1，-3，-2)

2．已知
，
，
，则动点的轨迹是（　　）

（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线

3. 已知命题：
,
，则
是（ ）

（A）
R,
（B）
R,

（C）
R,
（D）
R,

4. 已知函数
的导函数
的图象如图

所示，那么函数
的图象最有可能的是（ ）

5．“
”是“
且
”的 (　　)

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．设等比数列
的公比
，前项和为
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．下列命题中，真命题是(　　)

（A）?x0∈R，
≤0 （B）?x∈R, 2x＞x2

（C）双曲线
的离心率为

（D）双曲线
的渐近线方程为

8．已知实数
满足
则
的最小值是（ ）

（A）5 （B）
（C）
（D）

9．已知
是椭圆的两个焦点，过
的直线
交椭圆于
两点，若
的周长为
，则椭圆方程为（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

10．设
（
R
,且
）， 则
大小关系为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 四棱锥
中，底面
是平行四边形，

则直线
与底面
的关系是(　　)

（A）平行　　　　　　 　（B）垂直

（C）在平面内 （D）成60°角

12. 对
，若
，且
，
，则(　　)

（A）y1＝y2 （B）y1>y2

（C）y1

第II卷

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抛物线
的焦点到准线
的距离是 .

14.
为等差数列
的前项和，
，则
.

15．曲线
在点（1,1）处的切线方程为 .

16. 过点
的双曲线
的渐近线方程为
为双曲线
右支上一点，为双曲线
的左焦点，点
则
的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，
的等差中项.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.

18．(本小题满分12分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若
，求函数
的值域.

19．(本小题满分12分)

已知
为直角梯形，
,
平面
，

(Ⅰ)求证：
平面
;

(Ⅱ)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的顶点在坐标原点
，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且
.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点
作直线
交抛物线于，
两点,求证:
.

21．（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
.

(Ⅰ)求直线
与平面
所成角的正弦值；

(Ⅱ)在线段
上是否存在点？使得二面角
的大小为60°，若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）

设一个焦点为
,且离心率
的椭圆
上下两顶点分别为
,直线
交椭圆
于
两点,直线
与直线
交于点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)求证：
三点共线.

2013～2014学年第一学期期末考试参考答案与评分标准

高二数学（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

1．C；2．D；3.C；4. A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．A；10．D；11. B；12．B．

二、填空题

13.1；14.21；15.
；16.8．

三、解答题

17．解：(Ⅰ)∵为，
的等差中项，
， 2分

∵
,∴A＝. 4分

(Ⅱ)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4. 6分

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 8分

解得b＝c＝2. 10分

18.解：(Ⅰ)
.

当
时，
或
； 2分

当
时，
. 4分

∴函数
的单调增区间为
和
；

函数
的单调减区间为
。 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
；

.

又因为
10分

所以函数
的值域为
12分

19.解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

可得
。 2分

（Ⅰ）证明法一：因为
，

所以
, 4分

所以
,
,
平面
，
平面
，

所以
平面
. 6分

证明法二：因为
平面
，
平面
，所以
,又因为
=90°，即
，
,
平面
，
平面
，

所以
平面
. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面
的一个法向量
，

设平面
的法向量
，

又
,

且

所以

所以平面
的一个法向量为

所以

所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. 12分

20.解：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：

，

则点的坐标为
，点的一个坐标为
， 2分

∵
，∴
， 4分

∴
，∴
，∴
. 6分

（Ⅱ）设、
两点坐标分别为
、
，

法一：因为直线当
的斜率不为0，设直线当
的方程为

方程组
得
，

因为

所以

=0，

所以
.

法二：①当
的斜率不存在时，
的方程为
，此时

即
有
所以
.…… 8分

当
的斜率存在时，设
的方程为

方程组
得

所以
10分

因为

所以

所以
.

由①②得
. 12分

21.解：如图，以
中点为原点建立空间直角坐标系，

可得
.

（Ⅰ）所以
，平面
的一个法向量

所以
，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.……… 6分

（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=
，

则
，设平面
的法向量
，

因为
,
，

且

所以
所以平面
的一个法向量

又因为平面
的一个法向量

所以

解得
，因为
，此时
,

所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. …………………… 12分

22.解：(Ⅰ)由题知
，
，∴
， 3分

∴椭圆
. 4分

(Ⅱ) 设点
，由(Ⅰ)知

∴直线
的方程为
，∴
. 5分

∴
，
， 8分

由方程组

化简得:
,
,
.

10分

∴
,

∴
三点共线. 12分