赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)

2013~2014学年度第一学期期末联考试卷

高二数学试题(文科)

一、选择题(每小题5分，共50分。)

1、数学考试中，甲、乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐，若甲、乙两校的成绩方差分别为
和
，则

A．
＞
B．
＜
C．
＝
D．S1＞S2

2、设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“(p”、“(q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

3、实验测得四组(x, y)的值分别为(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)，则y与x间的线性回归方程是

A．y＝－1＋x B．y＝1＋x C．y＝1.5＋0.7x D．y＝1＋2x

4、过抛物线y＝x2上的点M(
,
)的切线的倾斜角是

A．30° B．45° C．60° D．90°

5、如图所示，程序框图输出的所有

实数对(x, y)所对应的点都在函数

A．y＝x＋1的图象上

B．y＝2x的图象上

C．y＝2x的图象上

D．y＝2x－1的图象上

6、设定点M1(0, －3), M2(0, 3)，动点P满

足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋
(其中a是正常

数)，则点P的轨迹是

A．椭圆 B．线段

C．椭圆或线段 D．不存在

7、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯

视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，

直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2

B．2:1

C．1:1

D．1:4

8、设A, B两点的坐标分别为(－1, 0), (1, 0)，

条件甲：
·
＞0；条件乙：点C的坐

标是方程
的解，则甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9、已知直线l1: 4x－3y＋6＝0和直线l2: x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

A．2 B．3 C．
D．

10、已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m, n∈[－1, 1]，则f(m)＋f ' (n)的最小值为

A．－13 B．－15 C．10 D．15

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 。

12、若命题“(x∈R, x2＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为 。

13、双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1, 2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为 。

14、如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在

△ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，

则AM＜AC的概率为 。

15、已知直线l, m，平面α,β, 且l⊥α, m　 β，给出下列四个命题：

命题：

①若α∥β, 则l⊥m； ②若l⊥m, 则α∥β；

③若α⊥β，则l∥m； ④若l∥m, 则α⊥β

其中正确命题的序号是 。

三、解答题（共75分）

16、(12分)设集合A＝(―∞, ―2]∪[3, ＋∞)，关于x的不等式(x－2a)·(x＋a)＞0的解集为B（其中a＜0).

（1）求集合B；

（2）设p: x∈A, q: x∈B，且(p是(q的充分不必要条件，求a的取值范围。

17、(12分)如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在区间[15, 18)内的频数为8.

（1）求样本容量；

（2）若在[12, 15)内的小矩形的面积为0.06，

①求样本在[12, 15)内的频数；

②求样本在[18, 33)内的频率。

18、(12分)已知函数y＝x－1，令x＝―4, ―3, ―2, －1, 0, 1, 2, 3, 4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，

（1）求P1, P2两点在双曲线xy＝6上的概率；

（2）求P1, P2两点不在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的概率。

19、(12分)如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA中点。

（1）求证：直线BD⊥平面OAC；

（2）求点A到平面OBD的距离。

20、(13分)已知函数f(x)＝
ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).

（1）若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间。

21、(14分)如图，椭圆
过点P(1,
)，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝
, M, N是直线x＝4上的两个动点，且
·
＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求MN的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)

2013~2014学年度第一学期期末联考试卷

高二年级数学(文科)参考答案及评分标准2014-1

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

C

B

D

C

A

B

A

A



二、填空题(每小题5分，共25分)

11、150 12、(－∞，－2)∪(2，＋∞) 13、(1，
) 14、
15、①④

三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

16、解：（1）∵a＜0，2a＜－a，∴B＝{x|x＜2a或x＞－a}＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)

…5分

（2）∵p：CRA＝(－2，3)， q：CRB＝[2a，―a]

由p是q的充分不必要条件知 CRA
CRB ………8分

∴

a≤－3， 所以a的取值范围为(―∞，－3] ………12分

17、解：（1）由图可知在[15，18)内的频率为
×3＝
又频数为8

∴样本容量n＝
＝50 …………4分

（2）∵样本在[12，15)内的频率为0.06

①∴样本在[12，15)内的频数为50×0.06＝3 …………8分

②∵样本在[18，33)内的频数为50―3―8＝39

∴样本在[18，33)内的频率为
＝0.78 ……………12分

18、解：函数图象上的九个点分别是：(―4，―5)，(―3，―4)，(―2，―3)，(―1，―2)，(0，―1)，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3)

（1）从九个点中选2个点共有36种，其中满足xy＝6的有2个点，其概率P＝

………6分

（2）两点在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的有(―3，―4)和(4，3)；(―2，―3)和(3，2)；(―1，―2)和(2，1)

所以两点不在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的概率P＝1－
＝
………………12分

19、解：（1）证明：ABCD为正方形
BD⊥AC

OA⊥平面ABCD
BD⊥平面OAC

OA⊥BD

BD
平面ABCD ………………5分

（2）设点A到平面OBD的距离为h

S△ABD＝
×AB×AD＝
，S△OBD＝
×
×
＝
。

由VA－OBD＝VO－ABD得
S△OBD×h＝
S△ABD×OA
h＝

所以点A到平面OBD的距离为
………………12分

20、解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋

（1）由已知函数f ' (1)＝f ' (3)
a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋

a＝
……6分

（2）f ' (x)＝
＝
(x∈(0，＋∞)) ………8分

①当a＝0时，f ' (x)＝
，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减 …………………10分

②当a＜0时，由f ' (x)＝
＝0的x1＝
(舍去)，x2＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减 ……………12分

综上：当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增 ………13分

21、解：（1）由已知可得

∴椭圆的方程为
＝1 ………4分

（2）设M（4，m），N（4，n），∵F1(－1，0)，F2(1，0)

＝(5，m)，
＝(3，n)，由
＝0
mn＝－15＜0 ………………6分

∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋
≥2
∴|MN|的最小值为2
………10分

（3）以MN为直径的圆C的方程为：(x－4)2＋(y－
)＝(
)2 …………12分

令y＝0得(x－4)2＝
－
＝－mn＝15
x＝4±

所以圆C过定点(4－
，0)和(4＋
，0) ……………14分