2013～2014学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科)

命题人：安道波 何艳国 董小明 校对人：安道波

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效．

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．抛物线
的焦点为（ ）

（A）（0,1） （B）（1,0） （C）
（D）

2．已知
，
，
，则动点的轨迹是（　　） （A）双曲线 （B）圆 （C）椭圆 （D）抛物线

3. 已知命题：
,
，则
是（ ）

（A）
R,
（B）
R,

（C）
R,
（D）
R,

4. 已知函数
的导函数
的图象如图

所示，那么函数
的图象最有可能的是（ ）

5．设
，那么“
”是“
”的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．可导函数在闭区间的最大值必在（ ）取得

（A）极值点 （B）导数为0的点

（C）极值点或区间端点 （D）区间端点

7.
，其中
（ ）

（A）恒取正值或恒取负值 （B）有时可以取0

（C）恒取正值 （D）可以取正值和负值，但不能取0

8． 下列说法正确的是（ ）

（A）
，

（B）对
则
,

（C）
，
是
的充分条件

（D）
的充要条件是

9．设等比数列
的公比
，前项和为
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10．已知
是椭圆的两个焦点，过
的直线
交椭圆于
两点，若
的周长为
，则椭圆方程为（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

11．函数
的大致图象如图

所示，则
等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 直线
交双曲线
于
两点，为双曲线
上异于
的任意一点，则直线
的斜率之积为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．双曲线
的渐近线方程是 .

14.
为等差数列
的前项和，
，则
.

15．曲线
在点（1,0）处的切线方程为 .

16. 已知双曲线

的左右焦点为
，过点
的直线与双曲线
左支相交于
两点，若
，则
为 .

三、解答题：本大题共小6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，
的等差中项.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.

18．(本小题满分12分)

不等式
解集为
,不等式
解集为
，不等式

解集为.

(Ⅰ) 求
；

(Ⅱ)若“
”是“”的充分条件，求实数的取值范围.

19．(本小题满分12分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若
，求函数
的值域.

20．（本小题满分12分）

已知离心率
的椭圆
一个焦点为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 若斜率为1的直线
交椭圆
于
两点,且
，求直线
方程.

21．（本小题满分12分）

已知抛物线的顶点在坐标原点
，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且
。

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点
作直线
交抛物线于，
两点,求证:
.

22．（本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）若
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

2013～2014学年第一学期期末考试参考答案与评分标准

高二数学（文科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

1．B；2．A；3.D；4. A；5．B；6．C；7. D；8．C；9．B；10．A；11．C；12. B.

二、填空题

13.
；14.21；15.
；16.4．

三、解答题

17.解：(Ⅰ)∵为，
的等差中项，
， 2分

∵
,∴A＝. 4分

(Ⅱ)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4. 6分

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 8分

解得b＝c＝2. 10分

18.解：(Ⅰ)∵
，∴
. 2分

∵
，∴
或
. 4分

∴实数
为
. 5分

(Ⅱ)由
得
，

又
,∴
, 7分

又“
”是“”的充分条件，∴
. 9分

∴实数的取值范围
. 12分

19.解：(Ⅰ)
.

当
时，
或
； 2分

当
时，
. 4分

∴函数
的单调增区间为
和
；

函数
的单调减区间为
。 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
；

.

又因为
10分

所以函数
的值域为
12分

20.解：(Ⅰ)由题知
，
，∴
， 3分

∴椭圆
. 4分

(Ⅱ) 设直线
方程为
，点
，

由方程组
6分

化简得:
,

. 8分

∴
, 9分

，

解得
. 11分

∴直线
方程
或
. 12分

21.解：解：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：

，

则点的坐标为
，点的一个坐标为
， 2分

∵
，∴
， 4分

∴
，∴
，∴
. 6分

（Ⅱ）设、
两点坐标分别为
、
，

法一：因为直线当
的斜率不为0，设直线当
的方程为

方程组
得
，

因为

所以

=0，

所以
.

法二：①当
的斜率不存在时，
的方程为
，此时

即
有
所以
.…… 8分

当
的斜率存在时，设
的方程为

方程组
得

所以
10分

因为

所以

所以
.

由①②得
. 12分

22.解： （Ⅰ）当
时，

2分

令
，解得
，所以
的单调增区间为（1，+∞）； 4分

，解得
，所以
的单调减区间为（0，1）.. 5分

所以函数
在
处有极小值
.. 6分

（Ⅱ）∵＜0，由
.令

列表：











_

0

+





减函数

极小值

增函数





8分

这是
. 10分

∵
，不等式
恒成立，∴
，∴
，

∴范围为
.. 12分