2013～2014学年第一学期高二理科数学期末测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.条件
，条件
，则
是
的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要不充分条 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件

2.抛物线
的准线方程是 （ ）

(A)
（B）y＝2 （C）
（D）y=4

3.y=
在点A(1,1)处的切线方程是( )

A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.x+2y-3=0 D.2x+y-3=0

4.y=ex.cosx的导数是( )

A.ex.sinx B.ex(sinx-cosx) C.-ex．sinx D.ex(cosx-sinx)

5. 平面内两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（ ）

A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件

C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件

6．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
是 （ ）

A．
B．cosx C．sinx D．2cosx

7. 下列命题中真命题的个数为：( )

①命题“若
，则x,y全为0”的逆命题；

②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；

③命题“若m>0,则
有实根”的逆否命题；

④命题“在
中，、
、分别是角A、B、C所对的边长，若
,则
”的逆否命题。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知
是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若
是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A、
B、
C、
D、

9函数
的定义域为，
，对任意
，
，则

的解集为

A．（
，1） B．（
，+） C．（
，
） D．（
，+）

10.设函数y=f(x)在(-∞,+ ∞)内有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=

设函数f(x)=2+x-ex,若对任意的x∈(-∞,+ ∞)恒有fk(x)=f(x),则( )

A.k的最大值为2 B.k的最小值为2

C.k的最大值为1 D.k的最小值为1

二、填空题（每小题5分，共5个小题，本题满分25分）

11.已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是　　　　

12.在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离是____________

13．曲线y=sinx，y=cosx，x=0，x=
所围成的平面图形的面积为

14.方程
无实根,则双曲线
的离心率的取值范围为
.

15. 下图是函数
的导函数
的图象，下列说法正确的是___________．

①．
是函数
的极值点；

②．
是函数
的极小值点

③．
在
处切线的斜率大于零；

④．
在区间
上单调递增.

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

16．（本小题满分12分）命题p：实数x满足
，其中a<0；命题q：实数x满足
或
，且
是
的必要不充分条件，求a的取值范围。

17.（本小题12分）在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

18．(本小题满分12分) 已知a为实数，
。

(1)若
，求
在[－2，2] 上的最大值和最小值；

(2)若
在(－∞，－2)和(2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。

19. （本题12分）已知函数
.

（I）当
时，求函数
的极小值；

（II）试讨论曲线
与轴的公共点的个数

20、（本小题13分）设函数
，其中

（1）求
的单调区间；（2）当
时，证明不等式：
；

21、（14分）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为
，且过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线
分别切椭圆C与圆
（其中
）于A、B两点，求|AB|的最大值。

2013——2014高二理科数学期末考试试题参考答案

一、选择题 ( 本大题共10小题，每小题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

A

D

B

A

C

D

B

D



二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上)

?11、a≤8 12.1; 13．2
—2 14、（1，
）；15： (2)(3)(4)．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

16．解：设A=
………………..3分

B=
，………………..6分

是
必要不充分条件等价于
，

∴
………………..12分

17解：如图所示，设切点A(
，
)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－
＝2
(x－
)，即y＝2
x－
.……..3分

令y＝0，得x＝，即C.……..6分

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，

S曲边△AOB＝
x2dx＝x3
＝x03，……..9分

S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x02＝x03.

所以S＝x03－x03＝x03＝.

所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1. ……..12分

18．解：(1)由原式得
∴
…………2分

由
得
,此时有
.

由
得
或x=-1 , 又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为
最小值为
…………6分

(2)
的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

即
∴－2≤a≤2.

所以a的取值范围为[－2,2]. …………12分

19（I）
………………2分

当
或
时，
；当
时，

在
，（1，
内单调递增，在
内单调递减…………4分

故
的极小值为
……………………………………5分

（II）①若
则

的图象与轴只有一个交点。……6分

②若
则
，当
时，
，当
时，

的极大值为

的极小值为

的图象与轴有三个公共点。…………………8分

③若
，则
.当
时，
，当
时，

的图象与轴只有一个交点…………………10分

④若
，则

的图象与轴只有一个交点

⑤当
，由（I）知
的极大值为

若
，
的图象与轴有三个公共点。………综上所述，若

的图象与轴只有一个公共点；

………12分

20、（本小题13分）

解：（1）由已知得函数
的定义域为
，且
，

，解得
……………3分

当变化时，
的变化情况如下表：











-

0

+





↘

极小值

↗



由上表可知,当
时，
，函数
在
内单调递减，

当
时，
，函数
在
内单调递增，

所以,函数
的单调减区间是
,函数
的单调增区间是
……………7分

（2）设

对
求导，得：

当
时，
，所以
在
内是增函数。所以
在
上是增函数。……………10分

当
时，
，即

同理可证
＜x……………13分

21、（1）设椭圆的方程为
，则
，

椭圆过点

，

解得
故椭圆C的方程为
6分

（2）设
分别为直线
与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为：

因为A既在椭圆上，又在直线AB上， 从而有
，

消去得：

由于直线与椭圆相切，故

从而可得：
①
②

由
消去得：

由于直线与圆相切，得
③
④

由②④得：
由①③得：

即
，当且仅当
时取等号，所以|AB|的最大值为2。 14分