湖南省衡阳市八中2013-2014年上学期高二期末考试文科数学试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟

参考公式：样本数据
的标准差；

为样本平均数；

柱体体积公式：
、h为高；

锥体体积公式：
为高；

球的表面积、体积公式：
其中R为球的半径。

一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.命题“若p则q”的逆命题是

A. 若q则p B. 若p则q

C. 若
则
D. 若p则

2.“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-5，

则输出的值是

A.
B. 1 C. D.

4.设函数
，则

A.
为
的极大值点 B.
为
的极小值点

C.
为
的极大值点 D.
为
的极小值点

5.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如右所示，

则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为

A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

6.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）

（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（
，
）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

7.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为
，焦距为4，则该椭圆的方程为

A
B
+
=1 C
+
=1 D
+
=1

8.设不等式组
表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大

于2的概率是

A
B
C
D

9.设抛物线
的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过

、两点作抛物线的两条切线交于点
，则有

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10.已知命题
，
，则命题P的否定是

11.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为

12.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽

取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．

13.设m为常数，若点F(5,0)是双曲线
的一个焦点，则m= .

14.已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字

之和为奇数的概率为

15.若规定E=
的子集
为E的第k个子集，其中k=
，则

（1）
是E的第 个子集；（2）E的第211个子集是

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）已知
，若命题“ p且q”和“?p”都为假，求的取值范围.

17.（本小题满分12分）

现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：

（I）所取的2道题都是甲类题的概率；

（II）所取的2道题不是同一类题的概率.

18.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，
，…，
后得到如右图的频率分布直方图．

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级

期中考试数学成绩不低于60分的人数；

19.设函数
=x+ax2+blnx，曲线y=
过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．

（I）求a，b的值；（II）令g(x)=f(x)-2x+2,求g(x)的单调区间。

20. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；

(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

21.已知是实数，函数
。

（Ⅰ）若
=3，求的值及曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值。

文科数学试卷答案

一、选择题：1-5 ABADB 6-9 DCDA

二、填空题：

10.
，

11

12. 15

13. 16

14.

15.（1）5；（2）{a1,a2,a5,a7,a8}

三、解答题

16.解：

若命题“ p且q”和“?p”都为假，则p为真q为假.

＜0.故的取值范围是
.

17.解（Ⅰ）基本事件空间中有15个基本事件，都是甲类的有6个，所以可求得概率

（Ⅱ）不是同一类的有8个基本事件，所以所求的概率是
.

18.（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以

解得
．………6分

（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率

为

．

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为
人． …………… …………12分

19.解：（I）
由已知条件得
，解得

（II）
，由（I）知

设
则

20. 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.

∵点P(1,2)在抛物线上，∴22=2p?1，解得p=2.∴所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.

(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=(x1?1)，kPB=(x2?1)，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=-kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得

y12=4x1，①

y22=4x2，②

∴=-，∴y1+2=-(y2+2)，∴y1+y2=-4. 由①-②得直线AB的斜率为-1

21.（Ⅰ）解：
，因为
，所以
．

又当
时，
，
，所以曲线
在
处的切线方程为
．

（Ⅱ）解：令
，解得
，
．

当
，即
时，
在
上单调递增，从而
．

当
，即
时，
在
上单调递减，从而
．

当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

从而

综上所述，