湖南省衡阳市八中2013-2014年上学期高二期末考试理科数学试卷

一 选择题 ( 每小题5分 共40分)

1．复数

A．
B．
C． D．

2．若
，则
是“
”的

A．充分非必要条件　　　 　　　 B．必要非充分条件

C．充分且必要条件　　　　　 D．既非充分也非必要条件

3..曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为

A.
B.
C.
D.

4．已知方程：
表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于

A．-30 B．10 C．-6或10 D．-30或34

5函数
的大致图像为　　　　　　　　　　　　　　　（ ）

6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)

A．0≤a<1 B．0

C．－1

7.抛物线
（＞
）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，

且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则

的最大值为

A.
B. 1 C.
D. 2

8已知函数
.若
，使

成立，则称
为函数
的一个“生成点”.函数
的“生成点”共有

A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

二 填空题 （每小题5分 共35分）

9．命题“
”的否定是 ．

10.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|

11．若直线
是曲线
的切线，则的值为

12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为

13．已知
,且
,则
的最小值为

14．函数
若函数
上有3个零点，则m的取值范围为 ( ）

15．若不等式
对任意
都成立，则实数a取值范围是 。.

三 解答题 （共75分）

16．（12分）设函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝x2－x

(1)解不等式|f(x)－g(x)|≥2 014；

(2)若|f(x)－a|<2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．

17．（12分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算a1，a2， a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

18. (12分)如图，已知四棱锥
中，
是边长为的正三角形，平面
平面
，四边形
是菱形，
，是
的中点，
是
的中点.

（1）求证：
平面
.

（2）求二面角
的余弦值.

19（13分）已知函数
为自然对数的底数

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)若函数
在
上单调递减，求的取值范围．

20、（13分）给定椭圆
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点
的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为
，求的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线
，使得
与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线
的斜率之积是否为定值,并说明理由.

21（13分）设函数
.

(1)若
求
的单调区间及
的最小值;

(2)若
,求
的单调区间;

(3)试比较
与
的大小.
,并证明你的结论.

理科数学试卷答案

一 选择题

1-5 CDACD 6-8 BAB

二 填空题

9．否定 10. a>-1 11或

12  13
14. [1,8） 15

三解答题

16．解：(1)由|f(x)－g(x)|≥2 012得|－x＋3|≥2 012，即|x－3|≥2 011，所以x－3≥2 012或x－3≤－2 012，解得x≥2 015或x≤－2 009.

(2)依题意知：当1≤x≤2时，|f(x)－a|<2恒成立，所以当1≤x≤2时，－2

由于当1≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2

17． 解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，

由此猜想an＝(n∈N*)．

(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．

假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，结论成立，

即ak＝，

那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1.

∴2ak＋1＝2＋ak，

∴ak＋1＝＝＝，

这表明n＝k＋1时，结论成立．

∴an＝(n∈N*)．

18.【证明】（1）取
的中点，连接
.

由题意知
且
，
且

，所以
且
，即

四边形
是平行四边形，所以
，

又
平面
，
平面

所以
平面
.---------------（5分）

（2）以为坐标原点，
为轴，
为轴，
为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，则

，平面
的法向量
，设
是平面
的法向量，

由
，令
，得
---------（10分）

又二面角
的平面角是锐角，

所以二面角
的平面角的余弦值是
---------------------（12分）

19 解：（I）当
时，
，

当变化时，
，
的变化情况如下表：



1



3







－

0

＋

0

－





递减

极小值

递增

极大值

递减



所以，当
时，函数
的极小值为
，极大值为

（II）

令

①若
，则
，在
内，
，即
，函数
在区间
上单调递减

②若
，则
，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为
，当且仅当
，即
时，在
内
，
，

函数
在区间
上单调递减

③若
，则
，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当
，即
时，在
内
，
，函数
在区间
上单调递减

综上所述，函数
在区间
上单调递减时，的取值范围是
．

20、

经过化简得到：
，因为
，所以有
，设
的斜率分别为
，因为
与椭圆都只有一个公共点，所以
满足方程
，因而
，即直线
的斜率之积是为定值

21解：(1)

当
时,

在区间
上是递增的. …………2分

当
时,

在区间
上是递减的.

故
时,
的增区间为
,减区间为
,
.…………4分

(2)若
,当
时,

则
在区间
上是递增的;

当
时,
,

在区间
上是递减的. …………6分

若
,当
时,

则
在区间
上是递增的,
在区间
上是递减的;

当
时,
,

在区间
上是递减的,而
在
处有意义;

则
在区间
上是递增的,在区间
上是递减的. …………8分

综上: 当
时,
的递增区间是
,递减区间是
;

当
,
的递增区间是
,递减区间是
. …………9分

(3)由(1)可知,当
时,有
即

=
. …………14分