赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)

2013~2014学年度第一学期期末联考试卷

高二数学试题(理科)

2014年元月

一、选择题(每小题5分，共50分。)

1、观察下列数的特点，1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55, …中，其中x是

A．12 B．13 C．14 D．15

2、设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“(p”、“(q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

3、向量
＝(2, 4, x),
＝(2, y, 2)，若|
|＝6, 且
⊥
，则x＋y的值为

A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1

4、过抛物线y＝x2上的点M(
,
)的切线的倾斜角是

A．30° B．45° C．60° D．90°

5、如图所示，程序框图输出的所有

实数对(x, y)所对应的点都在函数

A．y＝x＋1的图象上

B．y＝2x的图象上

C．y＝2x的图象上

D．y＝2x－1的图象上

6、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯

视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，

直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2

B．2:1

C．1:1

D．1:4

7、设A, B两点的坐标分别为(－1, 0), (1, 0)，条件甲：
·
＞0；条件乙：点C的坐标是方程
的解，则甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8、一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为

A．πa2 B．15πa2 C．
πa2 D．
πa2

9、已知直线l1: 4x－3y＋6＝0和直线l2: x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

A．2 B．3 C．
D．

10、P是双曲线
右支上的一点，M, N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和

(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 。

12、若命题“(x∈R, x2＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为 。

13、双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1, 2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为 。

14、如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在

△ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，

则AM＜AC的概率为 。

15、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个

命题：

①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC

的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面

ACD1所成角的大小不变；

③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C

的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等

的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1。

其中真命题的编号是 。

三、解答题（共75分）

16、(12分)设集合A＝(―∞, ―2]∪[3, ＋∞)，关于x的不等式(x－2a)·(x＋a)＞0的解集为B（其中a＜0).

（1）求集合B；

（2）设p: x∈A, q: x∈B，且(p是(q的充分不必要条件，求a的取值范围。

17、(12分)已知函数y＝x－1，令x＝―4, ―3, ―2, －1, 0, 1, 2, 3, 4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，

（1）求P1, P2两点在双曲线xy＝6上的概率；

（2）求P1, P2两点不在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的概率。

18、(12分)是否存在常数a, b使等式
对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a, b的值，若不存在，请说明理由。

19、(12分)如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA中点。

（1）求证：直线BD⊥平面OAC；

（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；

（3）求点A到平面OBD的距离。

20、(13分)如图，椭圆
过点P(1,
)，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝
, M, N是直线x＝4上的两个动点，且
·
＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求|MN|的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

21、(14分)已知定点A(－2, 0)和B(2, 0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲线E的方程；

（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直线l的方程为x＝a(a≤
)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)

2013~2014学年度第一学期期末联考试卷

高二年级数学(理科)参考答案及评分标准

2014-1

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

C

B

D

A

B

D

A

D



二、填空题(每小题5分，共25分)

11、150 12、a∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)

13、(1，
) 14、
15、①③④

三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

16、解：（1）B＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞) ………………………4分

（2）∵p：x＝∈(－2，3)， q∈[2a，―a] ………………………6分

依题意有：(－2，3)
[2a，―a] ………………………8分

故：
解得a≤－3 ………………………12分

17、解：（1）函数图象上的九个点分别是：(―4，―5)，(―3，―4)，(―2，―3)，(―1，―2)，(0，―1)，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3) ……………………2分

从九个点中选2个点共有36种，其中在双曲线xy＝6上 ……………………4分

设有：(―2，―3)，(3，2)，故：P1＝
……………………6分

（2）P1，P2在同一双曲线xy＝k(k≠0)的有(―3，―4)和(4，3)；(―2，―3)和(3，2)；(―1，―2)和(2，1) …………………………9分

故：P2＝1－
＝
……………………12分

18、解：若存在常数a，b使得等式成立，将n＝1，n＝2代入等式

有：

即有：
…………………………4分

对于n为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明

证明：（1）当n＝1时，等式成立。 …………………………5分

（2）假设n＝k时等式成立，即

…………………………7分

当n＝k＋1时，即

……………………11分

也就是说n＝k＋1时，等式成立，

由（1）（2）可知等式对于任意的n∈N*都成立。 ………………………12分

19、解：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A－xyz。

（1）∵
＝(－1，1，0)，
＝(0，0，2)，
＝(1，1，0)

∴
＝0，
＝－1＋1＝0

∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A

故BD⊥平面OAC …………………………4分

（2）取平面OAC的法向量
＝(－1，1，0)，又
＝(0，1，－1)

则：

∴
＝60(

故：MD与平面OAC所成角为30( …………………………8分

（3）设平面OBD的法向量为
＝(x，y，z)，则

取
＝(2，2，1)

则点A到平面OBD的距离为d＝
…………………………12分

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是边长为1的正方形

∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC …………………………4分

（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角

∵MD＝
，DE＝

∴直线MD与平面OAC折成的角为30( …………………………8分

（3）作AH⊥OE于点H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。

∴AH＝

∴点A到平面OBD的距离为
…………………………12分

20、解：（1）∵e＝
，且过点P（1，
）

∴
解得：a＝2，b＝
…………………………3分

∴椭圆方程为
＝1 …………………………4分

（2）设点M（4，y1），N（4，y2），则
＝（5，y1），
＝（3，y2），

则
＝15＋y1·y2＝0，∴y1·y2＝－15 …………………………6分

又∵|MN|＝|y2－y1|＝|―
―y1|＝
＋|y1|≥2

∴|MN|的最小值为2
。(y1＝±
等号成立) …………………………8分

（3）圆心C的坐标为（4，
），半径r＝
，圆C的施方程为：

(x－4)2＋(y－
)2＝
…………………………10分

整理得x2＋y2―8x―(y1＋y2)y＋16＋y1·y2＝0

∵y1·y2＝－15 ∴x2＋y2―8x―(y1＋y2)y＋1＝0 ……………………………12分

令y＝0，得x2－8x＋1＝0，∴x＝4±
，

∴圆C过定点（4，±
，0） ……………………………13分

21、解：（1）由双曲线的定义得：曲线E是以A， B为焦点的双曲线的右支，所以曲线E的方程为：x2－
＝1(x＞0) ……………………………2分

（2）若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为：y＝k(x－2)

由
，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 ……………………………3分

设p(x1，y1)，Q(x2，y2)，这里x1＞0，x2＞0

则：
得：k2＞3 …………………………6分

|PQ|＝
|x1－x2|＝
＝6＋
＞6 …………………………6分

若直线PQ垂直于x轴，则直线PQ的方程为x＝2。 ……………………………8分

这时P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，

综上：|PQ|min＝6 ……………………………9分

（3）据题意得：|CR|＝
|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴，

由|CR|＝
－a＝
－a …………………………10分

∴
－a＝
·
，a＝
＝－1＋
＜－1 …………………12分

若直线PQ垂直于x轴，这时|PQ|＝6，|CR|＝2－a

∴a＝－1。 ……………………………13分

综上a≤－1。 ……………………………14分