第I卷（选择题）

一、选
择题（每小题5分，共50分）

1．下列四个命题中，不正确的命题是 ( )

A.如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直

B.已知直线ａ、ｂ、ｃ，ａ∥ｂ，ｃ与ａ、ｂ都不相交，若ｃ与ａ所成的角为θ，则ｃ与ｂ所成的角也等于θ

C.如果空间四个点不共面，则四个点中可能有三个点共线

D.若直线ａ∥平面α，点P∈α，则过P作ａ的平行线一定在α内

2．在正方体中，直线
与
所成的角的大小为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知P:|2x－3|<1, Q:x(x－3)<0, 则P是Q的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4．一个三棱锥的三视图如图，
则该三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知a>l
，
则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

A．
B．

C．
D．

8.正方体
-
中，
与平面
所成角的余弦值为( )

A .
B.
C.
D.

9.与正方体
的三条棱
、
、
所在直线的距离相等的点( )

A．有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个

10．如图，三棱锥
的底面是正三角形，各条侧棱均相等，
．设点
、
分别在线段
、
上，且
，记
，
的周长为
，则
的图象可能是( )

第II卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共25分）

11.命题“存在
,
”的否定是______

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图

所示,则其表面积等于

13. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，

则其外接球的表面积是______；

14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.

15.已知a、b是不同直线，
、
、
是不同平面，给出下列命题：

①若
∥
，a

，则a∥
②若a、b与
所成角相等，则a∥b

③若
⊥
、
⊥
，则
∥
④若a⊥
, a⊥
，则
∥

其中正确的命题的序号是________________

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）已知命题p：“方程x2+mx+1=0有两个相异负根”,命题q：“方程4x2+4(m－2)x+1=0无实根”，若p且q为假命题，p或q为真命题，试求实数m的取值范围。

17. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面
平面
，四边形
为平行四边形，

，
，
，
.

（
Ⅰ）求证：
面

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

18．（本小题满分12分）如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．
∥
，
，
，
．

（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅱ）线段
上是否存在点
，使

// 平面
？若存在，求出
；若不存在，说明理由．

[来源:学.科.网][来源:学。科。网Z。X。X。K]

[来源:学科网ZXXK]

19. （本题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1
）证明：面
⊥面
（2）求平面
与平面
所成角的余弦值；

20．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为
的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平
面ABCD，PA＝
，M，N分别为PB
，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

[来源:学科网]

21. （本小题满分14分）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；

（Ⅱ）求平面AA1D与A1DB所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；

南昌十九中2013～2014学年度第一学期高二年级期末考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题

二、填空题

11. 任意
,
12.

13.
14.
15. ①④

三、解答题

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． …………………………6分

（2）存在点
，且
时，有
// 平面
．

证明如下：由
，
，所以
．

设平面
的法向量为

，则有

所以
取
，得
．………………………………9分

因为


，且
平面
，所以
// 平面
．

即点
满足
时，有
// 平面
．……………………………………12分

20、【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。

(Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，
PD的中点，

∴在
PBD中，MN∥BD．

又MN
平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，
)，M(
，
，
)，

N(
，0，
)，C(
，3，0)．

设Q(x，y，z)，则
．

∵
，∴
．

由
，得：
． 即：
．

对于平面AMN：设其法向量为
．

∵
．

则
． ∴
．

同理对
于平面MNQ得其法向量为
．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为
，[来源:学科网ZXXK]

则
．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为
．

21. 1.解答：解法一：（Ⅰ）取
中点

，连结

．

为正三角形，
．

正三棱柱
中，平面
平面
，

平面
．

连结
，在正方形
中，
分别为

的中点，

，

．

在正方形
中，
，

平面
．

（Ⅱ）设
与
交于点
，在平面
中，作

于
，连结
，由

点
到平面
的距离为
．

解法二：（Ⅰ）取
中点
，连结
．

为正三角形，
．

在正三棱柱
中，平面
平面
，

平面
．

取
中点
，以
为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，

，
，
．

，
，

，
．

平面
．