福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期末数学理试题

高二年理科数学试卷

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

B．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电

C．由圆的性质推测球的性质

D．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B

2．
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象最有可能的是图中的(　　)

3．用反证法证明命题 “自然数a、b 、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）

A．a、b、c都是奇数 B．a、b 、c都是偶数

C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 D．a、b 、c中至少有两个偶数

4．设
，当
时，
（　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

5．如果复数
为纯虚数，那么实数的值为（ ）.

A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2

6．在下列命题中：①若
、
共线，则
、
所在的直线平行； ②若
、
所在的直线是异面直线，则
、
一定不共面； ③若
、
、
三向量两两共面，则
、
、
三向量一定也共面； ④已知三向量
、
、
，则空间任意一个向量
总可以唯一表示为
．其中正确命题的个数为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

7．一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为
，则该物体从0秒到4秒运动所经过的路程为( )

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．—

8．若函数
，则
是（ 　）

Ａ．仅有最小值的奇函数 Ｂ．仅有最大值的偶函数

Ｃ．既有最大值又有最小值的偶函数 Ｄ．非奇非偶函数

9．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )．

Ａ．[1，＋∞) Ｂ． (－2，＋∞) Ｃ．[－2，2] Ｄ． [－2，＋∞)

10．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

11．如图，四面体
中，
分别
的中点，
,

，则点到平面
的距离 ( )

A．
　　　　B．
　　 　C．
　　　D．

12．设函数
的导函数
满足
对于
恒成立，则 （ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13．若为虚数单位，则
的值为_______.

14．

15．在椭圆C：
中，当离心率e趋近于0，椭圆就趋近于圆，类比圆的面积公式，椭圆C的面积
．

16．已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
给出以下命题：

①当
时，
； ②函数
有五个零点；

③若关于的方程
有解，则实数的取值范围是
；

④对
恒成立．

其中，正确命题的序号是 ．

三、解答题（本部分共计6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）

17．（本小题满分12分）

已知函数
，其导函数为
。

（Ⅰ）求
在
处的切线
的方程

（Ⅱ）求直线
与
图象围成的图形的面积

18．（本小题满分12分）

设数列
，
＝2，n∈N*.

（Ⅰ）求
并由此猜想出
的一个通项公式；

（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．

19．（本小题满分12分）

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部

分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，

侧(左)视图是底边长分别为2和4的直角梯形，

俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；

（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．

20．（本小题满分12分）

某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．经市场分析，价格模拟函数为以下三个函数中的一个：①
；②
；③
．（以上三式中
均为常数，且
）（注：函数的定义域是
）．其中
表示4月1日，
表示5月1日，…，依此类推.

（Ⅰ）请判断以上哪个价格模拟函数能准确模拟价格变化走势，为什么？

（Ⅱ）若该果品4月1日投入市场的初始价格定为6元，且接下来的一个月价格持续上涨，并在5 月1日达到了一个最高峰，求出所选函数
的解析式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽境外销售，且销售价格为该果品上市期间最低价格的2倍，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌及境外销售的价格．

21．（本小题满分12分）

如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，四边形AA1C1C也为菱形

且∠A1AC=∠DAB=60o，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；

（Ⅱ）证明：平面AB1C∥平面DA1C1；

（Ⅲ）在棱CC1上是否存在点P，使得平面PDA1

和平面DA1C1所成锐二面角的余弦值为
？

若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数
，
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

（Ⅲ）如果对任意的
，都有
成立，求实数的取值范围．

南安一中2013~2014学年度上学期期末考

高二年理科数学试卷 参考答案

一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1-6 DACCAD 7-12 CCDBBD

11．解析：易证
平面
，以
为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，可求
是平面
的一个法向量．

又
点到平面
的距离
，选B．

12．解析：设
，
，
在上递增，

且
，

同理，
，∴
， 选D

二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13． －4 14． 2014 15．
16． ①③④

14．解析： ∵
为奇函数，

∴

16．①③④．解析：函数
的图象如图，可得极值点
，
，
时，
，
．由图象可知
有3个零点（
是零点）；若关于的方程
有解，则

三、解答题

17．解：（Ⅰ）

又
………4分

即：
………6分

（Ⅱ）由
………8分

………12分

18．解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，………… 3分

由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式为：an＝n＋1(n∈N*)．… 6分

（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1=2，猜想成立．………………………………………… 7分

②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即ak=k＋1，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分

也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立

根据①和②，对于所有n∈N*，都有an=n＋1. ………………………………… 12分

19．解：（Ⅰ）由题意可知，四棱锥B－ACDE中，

AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB ，又AB⊥AC，

且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，

又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，

则四棱锥B－ACDE的体积为

．……4分

（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

………5分

设平面BDE和平面BCD的法向量分别为

，取
………6分

，取
………7分

，∴平面BDE⊥平面BCD ………8分

（Ⅲ）
，
………11分

直线CE与平面BDE的夹角正弦值为
………12分

20．解：（Ⅰ）应选
．………… 1分

因为①
中单调函数；②
的图象不具有先升再降后升特征；③
中，
，令
，得
，
，

有两个零点．出现两个递增区间和一个递减区间，符合价格走势；…………… 4分

（Ⅱ）由
，
，得
…… 6分 解得
（其中
舍去）

，即
；………… 8分

（Ⅲ）由
，解得
，………… 9分

x

0

(0，1)

1

(1，3)

3

（3，5）

5





6

↑

极大值

10

↓

极小值

6

↑

26





………… 11分

所以函数
在区间
上单调递减，

故这种水果在5月，6月份价格下跌．且境外销售的价格为
（元）………… 12分

21．解：（Ⅰ）证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

且交线为AC，则BD⊥平面AA1C1C，

又A1A?平面AA1C1C，

故BD⊥AA1. ………………4分

（Ⅱ）证明：由棱柱的性质

知四边形AB1C1D为平行四边形

∴AB1∥DC1，∵AB1在平面DA1C1外，DC1平面DA1C1

∴AB1∥平面DA1C1 ……………………………5分

同理B1C∥平面DA1C1………………………………6分

AB1∩B1C＝B1， ∴平面AB1C∥平面DA1C1. ………7分

（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A1O， ∵菱形AA1C1C且∠A1AC =60o，

∴正三角形A1AC ，且O为AC中点， ∴A1O⊥AC

又平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC

∴A1O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，

如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1 ………8分

则
，
，

，

，

，

设
则

设平面DA1C1和平面PDA1 的的法向量

分别为

，

取

取
………10分

（舍去） ………11分

当P为CC1的中点时，平面PDA1和平面DA1C1所成的锐二面角的余弦值为
．…12分

22. 解：（Ⅰ）
，
， ．．．．．．．1分

①
，函数
在
上单调递增 ．．．．．．．．2分

②
，
，函数
的单调递增区间为
．．．．．3分

，函数
的单调递减区间为
．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）存在
，使得
成立

等价于：
，．．．．．．．．．．．．．．．．5分

考察
，
， ．．．．．．．．．．．．．．．6分

















递减

极（最）小值

递增







．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

由上表可知：
，

， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以满足条件的最大整数
； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（Ⅲ）问题等价于当
，
，

即当
时，
恒成立，

等价于
恒成立， ．．．．．．．．．．．11分

记
，所以

，
。

记
，当
，

即函数
在区间
上递增，

当
，
，即函数
在区间
上递减，

取到极大值也是最大值
．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

所以
。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

另解：设
，
，

∵
，
，∴
在
上递减，

且
，∴当
时，
，
时，
，

即函数
在区间
上递增，在区间
上递减， ．．．．．．．．．．13分

所以
，所以
。 ．．．．．．．．．．．．．．．．14分