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| 简介：
一、选择题（每题4分，共40分） 1 ．设复数满足,则（ ） A． B． C． D． 2..若,则等于（ ） A．sin2+cos2 B．cos2 C．sin2 D． sin2-cos2 3．已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为( ) A． B． C． D． 4.曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 6．设x、y、z＞0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数( ) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 7．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( )
8．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为( ) A． B． C． D． 9．由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为( ) A．2 B．9－2 C. D. 10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为（ ） A .(,＋∞) B.(-∞,－2) C. D.(-∞,－2)∪ (,＋∞) 二．填空题（每题4分，共16分） 11．＝________. 12．已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题: ①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m∥α,n⊥α,则n⊥m; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β. 其中真命题的个数是______个 13．f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分别是 14．观察（1） （2） 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论是 。 三.解答题(共46分) 15．（10分）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值． 16.（10分）用数学归纳法证明：； 17．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。 （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角； （Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值大小。 18．（12分）已知函数f(x)＝ln －ax2＋x(a>0)． (1)若f(x)是单调函数，求a的取值范围； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln 2. 天水一中2012级（高二）期末考试数学试题（理科）参考答案 一、选择题（每题4分，共40分） 9．解析：注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(3－x2－2x)dx＝＝3×1－×13－12－＝，选D. 答案：D 10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立， ∴f(x)在R上是增函数． 又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数． 由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)， ∴mx－2<－x，即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立． 记g(m)＝xm－2＋x， 则即 解得－2 答案： 二．填空题4分 11．π＋2 解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴－(1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝＋sin－＝π＋2. 答案：A 14．. 若都不是，且，则 三解答题 15．（10分） 解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a， 因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b， 因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－. 因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－. 又因为f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. (2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x， 从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x. 令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3. 当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数； 当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在 (0,3)上为增函数； 当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数． 从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3. 16．（10分）提示； 当时，左边=. 17（12分） 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 . （Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面. （Ⅱ）解：因 （Ⅲ）解：在上取一点，则存在使 要使 为 所求二面角的平面角. 18．（12分） 解析：(1)由f(x)＝ln－ax2＋x＝－ln x－ax2＋x得， f′(x)＝－－2ax＋1＝－. 令g(x)＝2ax2－x＋1， Δ＝(－1) 2－4×2a×1＝1－8a. 当a≥时，Δ≤0，∴g(x)≥0，∴f′(x)≤0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0 综上，a的取值范围是. (2)由(1)知，当且仅当a∈时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1＋x2＝，x1x2＝. f(x1)＋f (x2)＝－ln x1－ax＋x1－ln x2－ax＋x2＝－(ln x1＋ln x2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln x1x2＋(x1＋x2)＋1＝ln 2a＋＋1. 令g(a)＝ln 2a＋＋1，a∈， 则当a∈时，g′(a)＝－＝<0，g(a)在上单调递减， 所以g(a)>g＝3－2ln 2，即f(x1)＋f(x2)>3－2ln 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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