福建师大附中2013—2014学年度上学期期末考试

高二数学理试题

本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I卷 共60分

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．抛物线
的焦点到准线的距离为（ ***** ）

A.
B.
C.
D. 1

2．已知
，动点
满足：
，则动点
的轨迹为（ ***** ）

A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线

3．命题“若a>-3，则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知向量
，
，且
与
互相垂直，则k的值是（ ***** ）

A．1 B．
C．
D．

5． 下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题。

6．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直 线AM与CN所成角的余弦值是（ ***** ）

A．
B．
C．
D．

7．在四棱锥
中，底面
是正方形，
为
中点，若
，
，
，则
（ ***** ）

A.
B.

C.
D.

8．设
为双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上且
，则
的面积是（ ***** ）

A．1 B．
C．2 D．

9．已知双曲线
的一条渐近线与抛物线
只有一个公共点，则双曲线的离心率 为（***** ）

A.
B.
C.
D.

10．如图，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中， M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，

则点B到平面AMN的距离是（ ***** ）

A．
B．
C．
D．2

11．如图，在平行六面体
中，底面是边长为1的正

方形，若
，且
，则
的长为（ ***** ）

A．
B．
C．
D．

12．由半椭圆
（
≥0）与半椭圆
（
≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中
，

．由右椭圆
（
）的焦点
和左椭圆
（
）的焦点
，
确定的
叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆
（
）的离心率的取值范围为（ ***** ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 共90分

二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.

13．椭圆
的焦距为2，则
的值等于 ******** .　

14．已知点P是圆F1
上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点,则点M的轨迹C的方程为 ******** .　

15．设P是曲线
上的一个动点，则点P到点
的距离与点P到
的距离之和的最小值为 ******** .　

16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.

17．已知动点
在椭圆
上,若
点坐标为
,
,且
则
的最小值是 ******** .　

三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）已知命题p：方程
表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线
的离心率
，若 “
”为真命题，“
”为假命题，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分15分）已知直三棱柱
中，△
为等腰直角三角形，

∠
＝90°，且
＝
，
、
、
分别为
、
、
的中点．

(I)求证：
∥平面
；

(II)求证：
⊥平面
；

(III)求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，F是抛物线
的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F作倾斜角为
的直线L，交曲线C于A，B两点，求
的面积；

（3）已知抛物线上一点
，过点M作抛物线的两条弦
，且
，判断：直线
是否过定点？说明理由。

21．(本小题满分12分)

如图， 在三棱锥
中，
．（Ⅰ）求证：平面
平面
（Ⅱ）若
，
，BC=AC，在线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分14分)

已知椭圆C:

(1)若椭圆C的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:
相切,求椭圆C的方程.

(2)若
以A(0,1)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于两点B,C,求
面积的最大值.

参考答案

一、选择题：BCBDD BCACD AC

二、填空题： 13．5或3 14：
15．

16．
17．

三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

解：p:0

由“
”为真命题，“
”为假命题，知
为一真一假。------9分

p真q假，则空集；--------10分

p假q真，则
---------11分

故m的取值范围为
---------12分

19．（本小题满分15分）

解：方法1：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），

B1（4，0，4），D（2，0，2）， …………（2分）

（I）
（
，4，0），面ABC的法向量为
（0，0，4），

∵

，
平面ABC，

∴DE∥平面ABC． …………（5分）

（II）

…………（8分）

∴

∵
…………（10分）

（III） 平面AEF的法向量为
，设平面 B1AE的法向量为

即
…………（12分）

令x＝2，则
∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为
…………（15分）

20．（本小题满分12分）

20、（1）
，

又

，得

（2）设
， 由
得：

=

（3）设直线

， 则
（*）

设
，则

即
得：

即：
或

带入（*）式检验均满足

直线
的方程为：
或：

直线过定点（8，-4）.（定点(4,4)不满足题意，故舍去）

21．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）∵
，∴
，
．

∵
，∴
平面
------------------------1分

∵
平面
，∴
．------------------------2分

∵
，∴
．∵
，∴
平面
．------------3分

∵
平面
，∴平面
平面
．------------4分

（Ⅱ）由已知可知，
，
，此时
．------------5分

以
为原点，建立如图的空间直角坐标系
，则
，

设
是平面
的法向量，

则
，

取
，得
，------------8分

设线段
上的点
的坐标为
，则
，

∵
，解得
， ------------11分

∴在线段
上不存在点
，使得直线
与平面
所成角为
。------------12分

22．（本小题满分14分）

(2)不妨设
的方程
，则
的方程为
。

由
得：

---------7分

由
得：

---------8分

从而有
--------10分

于是
。---- 11分

令
，有
----- 12分

因为

时等号成立。

,因此当
---- 13分

时，
-------- 14分