福建师大附中2013—2014学年度上学期期末考试

高二数学文试题

（满分：150分，时间：120分钟）

说明：试卷分第I卷和第II卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.

第I卷 共60分

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．抛物线
的准线方程是（ *** ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，动点
满足：
，则动点
的轨迹为（ *** ）

A.椭圆 B. 线段 C.两条射线 D. 双曲线

3. 下列有关命题的说法正确的是（ *** ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

4. 设P是双曲线
上一点，该双曲线的一条渐近线方程是
，
分别是双曲线的左、右焦点，若
，则
等于（ *** ）

A．2 B．18 C．2或18 D．16

5．若方程
表示双曲线，则实数
的取值范围是（ *** ）

A.-2<
<-1 B.
>-1 C.
<-2 D.
<-2或
>-1

6. 设
为双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上且
，则
的面积是（ *** ）

A.1 B.
C.2 D.

7.已知点
是椭圆
上一点，
为椭圆的一个焦点，且
轴，
焦距，则椭圆的离心率是（ *** ）

A. B.－1 C.－1 D.－

8.对于实数
，条件
，条件
或
，那么
是
的（ *** ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．都不对

9. 已知抛物线
与直线
相交于A、B两点，其中A点的坐标

是(1，2)。如果抛物线的焦点为F，那么
等于（ *** ）

A． 5 B．6 C．
D．7

10. 已知椭圆
，
分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点
使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ *** ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知函数
的图象是下列四个图象之一,且其导函数

的图象如右图所示,则该函数的图象是（ *** ）

12．已知动点
在椭圆
上,若
点坐标为
,
,且
则
的最小值是（ *** ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷共90分

二、填空题：（每小题4分，共16分）

13．
*** ；
***

14. 点
是抛物线
上一动点，则点
到点
的距离与
到直线
的距离和的最小值是 *** .

15. 已知
则
的最小值是 *** .

16.若抛物线
的焦点是
,准线是
,则经过点
、
（4，4）且与
相切的圆共有 *** 个.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分）

17．（本题满分12分）

已知等差数列
满足
。

（1）求通项
；

（2）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式及其前
项和
.

18. （本小题满分12分）

设
的内角
所对边分别是
，已知
,

(1)若
，求
;

(2)若
成等比数列，请判断
的形状.

19.（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标.

20. （本题满分12分）

已知
分别为椭圆
的左、右两个焦点，一条直线
经过点
与椭圆交于
两点, 且
的周长为8。

⑴求实数
的值；

⑵若
的倾斜角为
，求
的值。

21. （本小题共12分）

一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；

（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

?

?

?

?

?

?

?

22. （本题满分14分）

如图，椭圆

的顶点为
焦点为

S□
= 2S□
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线
过
(1,1),且与椭圆相交于
两点，

当
是
的中点时，求直线
的方程．

(Ⅲ)设
为过原点的直线，
是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点
的直线，
,是否存在上述直线
使以
为直径的圆过原点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：1－12：BBDCD ACADA BB

二、填空题： 13、
,
14、
15、3 16、2

三、解答题：

20. 解：由椭圆的定义，得
，
， ………2分

又
，

所以
的周长
． ……………4分

又因为
的周长为8，所以
， 则
． ……………5分

⑵ 由⑴得，椭圆
，
， ………………………7分

因为直线
的倾斜角为
，所以直线
斜率为
，

故直线
的方程为
． ……………………8分

由
消去
，得
， ……………9分

（法一：

）

法二：设
，解得，
，
……10分

所以

则

…………12分

21. 【解析】（Ⅰ）如图：以抛物线的顶点为原点，

中垂线为
轴建立直角坐标系……1分

则
……2分

设抛物线的方程为

将点
代入得
……3分

所以抛物线弧AB方程为
（
） ……4分

（Ⅱ）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过
的切线
的斜率为
，所以切线
的方程为：
，即
，令
，得
，令
，得
，

所以梯形面积
……10分

当仅当
，即
时，
成立此时下底边长为

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． ……12分

?解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为
米，则一腰过点
，可设此

腰所在直线方程为
，

联立
，得
，

令
，得
，或
（舍），

故此腰所在直线方程为
，

令
，得
，

故等腰梯形的面积：
……10分

当且仅当
，即
时，有

此时，下底边长

答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． ……12分

22、解：（Ⅰ）依题意有

…………1分

又由S□
= 2S□
.有
，
…………2分

解得
，…… 3分，故椭圆C的方程为
.………4分

（Ⅱ）当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
，
，

则
，
，两式相减得：
．

∵
是
的中点，

∴ 可得直线
的斜率为
，7分

当直线
的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得
，
，

这时
的中点为
，∴x=1不符合题设要求．…………8分

综上，直线
的方程为
…………9分

（Ⅲ）设
两点的坐标分别为
，假设满足题设的直线
存在，

（i）当
不垂直于
轴时，设
的方程为
，由
与
垂直相交于
点且
得
，即
，…………10分

又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB, ∴
.

将
代入椭圆方程，得
，

由求根公式可得
， ④

. ⑤

，

将④，⑤代入上式并化简得

，⑥

将
代入⑥并化简得
，矛盾.

即此时直线
不存在. …………12分

（ii）当
垂直于
轴时，满足
的直线
的方程为
或
，