一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .

1.已知矩阵
，
，则
=___________.

2.已知向量
，若
，则
_________。

3．已知二元一次方程组
，则
的值是 .

4. 阅读右面的程序框图，则输出的= .

5.把个半径为的铁球，熔铸成一个底面半径为的圆柱，则圆柱的高为 ．

6.已知直平行六面体的底面边长分别为
且它们的夹角为
侧棱长为
则它的全面积是

7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为 。

8、设
，则

=___________.

9.如图，由编号，，…，，…（
且
）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）．

10、设
为单位向量，且
的夹角为
，若
，
，则向量
在
方向上的投影为___________.

11.在北纬45(圈上的甲、乙两地，甲在东经30(，乙在西经60(处，若地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是

12．已知向量
，
的夹角为
，
，
，若点M在直线OB上，则
的最小值为 ．

13．已知向量
经过矩阵
变换后得到向量
，若向量
与向量
关于直线y=x对称，则a+b= .

　14.已知数列
具有性质：对任意
，
与
两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：

①数列0,1,3,5,7具有性质；

②数列0,2,4,6,8具有性质；

③若数列具有性质，则
；

④若数列
具有性质，则
。

其中真命题有 。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有5题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、已知点
，
，则与
平行的单位向量的坐标为（ ）（A）
（B）
（C）
和
（D）
和
和
和

16.等差数列
的前n项和记为
，若
为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）

　　 A．
　　 B．
　　　 C．
D．

17.已知
、
、
是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）

如果
，
．则
． 如果
，
．则
、
、
共面．

如果
，
．则
．
如果
、
、
共点．则
、
、
共面．

18.无穷等比数列
的各项和为，若数列
满足
，则数列
的各项和为（ ）（A） （B）
（C）
（D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.

19.(本小题满分12分)设数列
的前项和为
，
，对任意的
，向量
，
（是常数，
）都满足
，求
.

20. (本小题满分14分)用
平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为

（1）、建立与的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）、圆锥的母线与底面所成的角大小为
，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到0. 01m3)

21．(本小题满分14分)

已知
是底面边长为1的正四棱柱，高
，

求（1）异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

（2）求
的距离及直线
所成的角.

22．(本小题满分16分)

若数列
满足：对于
，都有
（常数），则称数列
是公差为的准等差数列．如：若
则
是公差为的准等差数列．

（1）求上述准等差数列
的前项的和
；

（2）设数列
满足：
，对于
，都有
．求证：
为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列
的前项和为
，试研究：是否存在实数，使得数列
有连续的两项都等于
．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

23．(本小题满分18分)

已知点
，
，

，都在函数
的图像上.

（1）若数列
是等差数列，求证：数列
是等比数列；

（2）若数列
的前项和是
，设过点
的直线与坐标轴所围成的三角形面积为
，求
的最大值;

（3）若存在一个常数，使得对任意的正整数都有
且
，则称
为“左逼近”数列，为该数列的“左逼近”值. 若数列
的前项和是
设数列
的前项和是
，且
，
，试判断数列
是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值；如果不是，说明理由.

上海市吴淞中学2013学年第一学期高二年级数学月考2试卷

一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .

1.已知矩阵
，
，则
=____
_______.

2.已知向量
，若
，则
____-6_____。

3．已知二元一次方程组
，则
的值是 7 .

4. 阅读右面的程序框图，则输出的= 30 .

5.把个半径为的铁球，熔铸成一个底面半径为的圆柱，则圆柱的高为
．

6.已知直平行六面体的底面边长分别为
且它们的夹角为
侧棱长为
则它的全面积是

188

7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为
。

8、设
，则

=_____
______.

9.如图，由编号，，…，，…（
且
）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为________
_______（结果保留）．

10、设
为单位向量，且
的夹角为
，若
，
，则向量
在
方向上的投影为____
_______.

11.在北纬45(圈上的甲、乙两地，甲在东经30(，乙在西经60(处，若地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是

12．已知向量
，
的夹角为
，
，
，若点M在直线OB上，则
的最小值为
．

13．已知向量
经过矩阵
变换后得到向量
，若向量
与向量
关于直线y=x对称，则a+b= 1 .

　14.已知数列
具有性质：对任意
，
与
两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：

①数列0,1,3,5,7具有性质；

②数列0,2,4,6,8具有性质；

③若数列具有性质，则
；

④若数列
具有性质，则
。

其中真命题有 ②③④ 。

分析：根据数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3①若a3-a1=a3同1°，②若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a3-a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有5题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、已知点
，
，则与
平行的单位向量的坐标为（ C ）（A）
（B）
（C）
和
（D）
和
和
和

16.等差数列
的前n项和记为
，若
为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ B ）

　　 A．
　　 B．
　　　 C．
D．

17.已知
、
、
是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ A ）

如果
，
．则
． 如果
，
．则
、
、
共面．

如果
，
．则
．
如果
、
、
共点．则
、
、
共面．

18.无穷等比数列
的各项和为，若数列
满足
，则数列
的各项和为（ A ）（A） （B）
（C）
（D）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.

19.(本小题满分12分)设数列
的前项和为
，
，对任意的
，向量
，
（是常数，
）都满足
，求
.

，即

当
时，
；当
时，

20. (本小题满分14分)用
平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为

（1）、建立与的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）、圆锥的母线与底面所成的角大小为
，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到0. 01m3)

解：（1）

（2）依题意，作圆锥的高
，
是母线与底面所成的线面角，

设圆锥高，
，

，