考试时间：120分钟 满分：100分

一、选择题(本大题共有12小题，每小题3分，共36分)

1.垂直于同一条直线的两条直线一定

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

2．在空间四边形
各边
、
、
、
上分别取、、
、
四点，如果
、
相交于点，那么

A．

点必在直线
上

B．

点必在直线
上



　

C．

点必在平面
内

D．

点必在平面
外



3．对于任意的直线
与平面,在平面内必有直线,使与

A．平行　　　　B．相交 C．垂直 D．互为异面直线

5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是

A．
B．

C．
D．

6. 已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，给出下列4个命题：

①若
②若

③若
④若

其中真命题的序号为

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

7．棱长为1的正方体
中,点
分别在线段
上,且
,给出以下结论:

①
②异面直线
所成的角为60°

③四面体
的体积为

④
其中正确的结论的个数为

A．1 B.2 C．3 D．4

8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

A．
B.
C．
D．

9．对两条不相交的空间直线与
, 必存在平面, 使得

A.
B.
C.
D.

10．如图，正方体
中，
分别为棱

的中点，在平面
内且与平面
平行的直线

A．不存在 B．有1条

C．有2条 D．有无数条

11．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是

A．
B．
C．
D．

12．三棱柱
中，
与
、
所成角均为
，
，且
，则
与
所成角的余弦值为

A．1 B．
C．
D．

二．填空题（本大题共有4小题，每小题4分，共16分）

13.下列几个命题中，

① 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；

② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；

③ 有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台；

④ 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

⑤ 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；

其中正确命题的序号是

15． 如图，已知正三棱柱
的底面边长为
，高为
，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点
的最短路线的长为________
.

16．如图，正方体
的棱长为1，为
的中点，
为线段
上的动点，过点
的平面截该正方体所得的截面记为
，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.

①当
时，
为四边形 ②当
时，
为等腰梯形

③当
时，
与
的交点满足

④当
时，
为六边形 ⑤当
时，
的面积为

三、解答题(本大题共有5小题，共48分)

18．(本小题满分10分)如图, 在直三棱柱
中，
,
，

（I）求证：
；

（II）求异面直线
与
所成角的余弦值．

19．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，是
的中点，作
交
于点．

（Ⅰ）证明
平面
；

（Ⅱ）证明
平面
．

20．(本小题满分10分)在三棱拄
中，
侧面
，已知
，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

21．(本小题满分12分)在正方体
中，棱长为1,
分别为棱
和
的中点.

（1）求证：平面

平面
；（2）求四面体
的体积.

（3）若
是
上靠近
的四等分点，动点
在底面
内，且
，请说明点
的轨迹，并探求
长度的最小值．