一．选择题（共12题，每题5分）

1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》

诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )

A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思

2．若k∈R则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是(　　)

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，α∥β，则l∥β

4.设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件
， 则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

5. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为

6．过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)

A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0

C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0

7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x

8.　椭圆
上的点
到焦点
的距离为2，
为
的中点，则
（

为坐标原点）的值为（ ）

A．4　　　B．2　 　C．8　 D．

9．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)

A. B．2 C. D．15

10．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右

焦点，则△PF2Q的周长是(　　)

A．28　　　B．14－8 C．14＋8 D．8

11．如图，A、B、C分别为椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)

A. B．1－ C.－1 D.

12．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分 D．圆的一部分

二．填空题（共4题，每题5分）

13．如右图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则＋＋＋＋＋＋＝__________

14.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为___________．

15．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为___________．

16.已知F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂

直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的

取值范围是___________.

三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）

17．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

18．已知双曲线b2x2－a2y2＝a2b2上有一点P，其焦点分别为F1、F2，且∠F1PF2＝α，求证：S△F1PF2＝b2cot.

19. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．（注意：BC与AD未必平行）

20.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求
·
的值；

(2)如果
·
＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；

(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程。

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

高二数学月考四答案2013.12

1．解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.

“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;

“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A

＋y2＝－2，∴(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝＝.

∴弦所在直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.答案：A

7.解析：　由题意＝，所以a2＝4b2.故双曲线的方程可化为－＝1，

故其渐近线方程为y＝±x.答案：　A

8.解；如图所示，设椭圆的另一个焦点为
，由椭圆第一定义得
，

所以
，

又因为
为
的中位线，所以
，故答案为A．

9.解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)

由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝.

10.解析：|PF2|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF2|－|PF1|＋|QF2|－|QF1|＋2·|PQ|

＝14＋8.答案：C

11.【解析】　由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，

∵1＞e＞0，∴e＝.【答案】　A

12.[答案]　D [解析]　延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，又|OP|＝|RF2|，∴|OP|＝a.

16. 答案：
[解析]
，

17.解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)、O2(2,0)．

由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以PO－1＝2(PO－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．。。。。。。。。。。。（10分）

18.证明：由b2x2－a2y2＝a2b2得：－＝1.∴|F1F2|＝2c，且||PF1|－|PF2||＝2a，

则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.①

根据余弦定理|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2.②

②－①整理得：|PF1||PF2|＝，

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin α＝b2＝b2cot.。。。。。。。。。。。（12分）

19.解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，

AB?平面ABCD，

所以PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

所以AB⊥平面PAD.

又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.。。。。。。。。（4分）

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)．

在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.

在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.

设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．

由AB＋AD＝4得AD＝4－t，

所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，
＝(－1,1,0)，

＝(0,4－t，－t)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由n⊥
，n⊥
，得

取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．。。。。。。。。。。。（8分）

又
＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得

cos60°＝||，即＝，

解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)，所以AB＝.．。。。。。。。。。。。（12分）

20.解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4∴
·
＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. （5分）

(2)设l： x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，

B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b∴
·
＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．。。。。。。。。。。。（12分）

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b＝1.∴所求椭圆方程为

＋y2＝1. .。。。。。。。。（4分）

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①当AB⊥x轴时，|AB|＝，

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得

(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0∴x1＋x2＝，x1x2＝.

∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)

＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)