2013~2014学年度第一学期期末试卷

高 二数 学(理)

第Ⅰ卷　客观卷（共36分）

一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）

1．设
是两个命题：
，则是的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则

A．?p：?x0∈R，sin x0≥1 B． ?p：?x∈R，sin x≥1

C．?p：?x0∈R，sin x0>1 D． ?p：?x∈R，sin x>1

3．下列命题：

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝
；

②若
共线，则
与
所在直线平行

③对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．

其中不正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是

A．1 B. C. D.

5．方程
表示的曲线是

Ａ．两条直线 Ｂ．一条直线和一双曲线 Ｃ．两个点 Ｄ．圆

6．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方

程为

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x

7．过点
且与
有相同焦点的椭圆的方程是

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

8．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是

A．相离 B．相交 C．内切 D．无法确定

9．已知M是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，左、右焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

10．直线
与双曲线
只有一个公共点，则的值有

A．个 　　　　B．个 　　　 C．个 　　　　D．无数多个

11．已知
为椭圆
的焦点，
为椭圆上一点，
垂直于x轴，且
，则椭圆的离心率为

Ａ．
　　Ｂ．
　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

12．已知点（4，2）是直线
被椭圆
所截得的线段的中点，则
的方程是

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

第II卷　主观题（共64分）

二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）

13．命题：“若
”的逆否命题是___________________________．

14．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于______．

15．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是______．

16．已知椭圆C：
的离心率为
，过右焦点且斜率为
　的直线与C相交于
两点，若
，则
=______．

三、解答题（共5小题）

17．（本小题8分）

已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

18．（本小题10分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底

面ABCD，PD＝DC=2，E是PC的中点，作EF⊥BP交BP于点F．

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD．

19.（本小题10分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1) 证明：PA⊥BD；

(2) 若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

20．（本小题12分）

已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设过点（0，-1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|＝6，求直线AB的方程．

21．（本小题12分）

已知直角坐标平面内点
到点
与点
的距离之和为．

（1）试求点的轨迹
的方程；

（2）若斜率为
的直线
与轨迹
交于、两点，点
为轨迹
上一点，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，试问：
是否为定值？请证明你的结论．

高二数学　　　参考答案

一、ACCDBC ACACCD

二、13.若
，则

14.5 15.6 16.

三、17.若命题p为真，则0.

若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

综上可知，c的取值范围是.

18.证明：以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为

x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝2

连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得

A(2,0,0)，P(0,0，2)，E（0,1,1）.

因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为（1,1，0），

且＝(2,0，－2)，＝（1,0，-1）.所以＝2，这表明PA∥EG.而EG?平面EDB且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.

(2)依题意得B(2，2，0)，＝(2，2，－2)．

＝（0,1,1），故·＝0＋2-2＝0，所以PB⊥DE，

由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.

19. (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线

DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则

A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则即因此可取n＝(，1，)．

设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，

则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角A-PB-C的余弦值为－.

20.（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，故曲线E的方程为x2－y2＝1(x<0)．

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组

消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有

解得－

又∵|AB|＝·|x1－x2|＝·

＝·＝2，

依题意得2＝6，整理后得28k4－55k2＋25＝0，

∴k2＝或k2＝，又－

21.解：（Ⅰ） 由题知
，
则

由椭圆的定义知点轨迹
是椭圆其中
．因为
，

所以，轨迹
的方程为

（2）设直线
的方程为：
，
联立直线
的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：
化简得：

当
时，即，
也即，
时，直线
与椭圆有两交点，

由韦达定理得：
，

所以，
，

则

所以，
为定值。

实验班数学参考答案

1. (,,) 2. －－＋3

3.解：（Ⅰ）解：当
的坐标为
时，设过
点的切线方程为
，

由
消得
. (1)

令
，解得
.代入方程(1)，解A(2,1),B(-2,1).

设圆心的坐标为
，由
，得
，解得
.

故过
三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4．

（Ⅱ）证明：据题意P处的切线方程为 y-y0=k(x-x0)

由
消得

令 (=
=0 得k=

（Ⅲ）证明：设
，切点分别为
，
，

由（Ⅱ）知
，
，

切线
的方程为
即
，

切线
的方程为
即
．

又因为切线
过点
，所以得
. ①

又因为切线
也过点
，所以得
. ②

所以
，
是方程
的两实根，

由韦达定理得

．

因为
，
，

所以

．

将

代入，得
.

所以以
为直径的圆恒过点
．