嘉祥一中2013—2014学年高二12月质量检测

数学（文）

一、选择题(本大题共12个小题. 每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合
，
，下列结论成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．直线
的倾斜角为 （ ）

A . 30
B.60
C.120
D.150

3．
是
的 （ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

4．已知函数
在[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )

A.
, B.
C.
D.

5.，
表示空间不重合两直线，，
表示空间不重合两平面，则下列命题中正确的是 （ ）

A.若
，
，且
，则

B.若
，
，
则

C.若
，
，
则

D.若
，
，
，则

6. 设椭圆
和双曲线
的公共焦点为
，是两曲线的一个公共点，则cos
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且其渐近线的方程为
,则该双曲线的标准方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是 （ ）

A．
或
B．
C．
或
D．

10. 抛物线
上两点
、
关于直线
对称，且

，则等于（ ）

A．
B． C．
D．

11．直线l过点
且与双曲线
仅有一个公共点，这样的直线有（ ）

A. 1 条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

12．是双曲线
的右支上一点，点
分别是圆
和
上的动点，则
的最小值为 ( )

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．函数
定义域为

14. 已知双曲线
的两条渐近线均和圆C:
相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 .

15. 设椭圆＋ = 1(a＞b＞0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是 ．

16. 已知
，若

则的取值范围是 ．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请将解答务必写在答题卡的相应位置)

17．（本小题满分10分）

已知集合
，
，

（1）求

（2）

（3）

18．（本小题满分12分）

已知曲线Ｃ：
（
）

(1) 若曲线C的轨迹为圆，求的取值范围；

(2) 若
，过点
的直线与曲线C交于
两点，且
，求直线AB的方程。

19．（本小题满分12分）

已知抛物线
与直线
交于
两点.

(1) 求证：
；

（2）当
的面积等于
时，求
的值.

20．（本小题满分12分）

设椭圆C:
过点（0，4），离心率为

（1）求C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为
的直线被C所截线段的长度 。

21. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为
．

（1）写出C的方程；

（2）设直线
与C交于A，B两点．k为何值时

？此时
的值是多少？

22. （本小题满分12分）

已知点M是圆C：
上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足
，
=0，动点N的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若AB是曲线E的长为2的动弦， O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

参考答案：

1-5 DCBCC 6-10 BCACA 11-12 CC

13.
14．
15．2＋． 16．（-4，0）

17.解：
，
，

（三个集合的化简各给2分）

（1）

（2）

（3）

18.解：（1）将原方程配方得：

，得

（2）当
时，
，圆心为（-1,0），半径为

当直线斜率不存在时，直线方程为
，截圆
所得弦长为，

符合题意

过点P斜率为k的直线方程为
，点（-1,0）到直线
的距离为
，解得

直线AB的方程为
，即

综上，所求直线AB的方程为
，或

19.解：(1)由方程组
得：ky2+y-k=0 ,

令A（x1,y1）, B（x2,y2）, 由韦达定理得：

y1+ y2 = - , y1y2 = -1

(
= x1x2+ y1y2 = (-y12)( -y22)+ y1y2 = 1-1 = 0

(
(
, 即：OA(OB；

（2）设直线与x轴交于N点，则N(-1,0)

S(AOB = S(OAN + S(OBN = (ON((y1(+ (ON((y2(= (ON (( y1- y2(

( S(AOB = (1(= = 

( k = ( 

20. 解：（1）将（0，4）代入C的方程得
?∴b=4又
得
即
，?

∴
?∴C的方程为

（?2）过点
且斜率为
的直线方程为
，

设直线与Ｃ的交点为Ａ
，Ｂ
，将直线方程
代入Ｃ的方程，得
，即
，

21.解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，故曲线C的方程为
．

（2）设
，其坐标满足

消去y并整理得
，

故
．

，即
．而
，

于是
．

所以
时，
，故
．

当
时，
，
．

，

而

，

所以
．

22．解：（1）因为
,
，所以
为
的垂直平分线，

所以
，又因为
,所以
,

所以动点
的轨迹是以点
为焦点的长轴为
的椭圆．

所以轨迹E的方程为
．

(2)因为线段
的长等于椭圆短轴的长，要使三点
能构成三角形，

则弦
不能与轴垂直，故可设直线
的方程为
，

由
，消去，并整理，得
.

设
，
，又
,

所以
，
，因为
,

所以
，即

所以
，即
，

因为
，所以
．又点
到直线
的距离
，

因为

，所以


．

所以
，即
的最大值为
．