嘉祥一中2013—2014学年高二12月质量检测

数学（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知全集
，则正确表示集合
和
关系的图是(　　)

2．设：
；：
，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于 (　　)

A．2　　　　　B．2 C. D．1

4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足
＝λ1
＋λ2
(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A．直线　　　　　B．椭圆 C．圆 D．双曲线

5．将函数
的图象F向右平移
，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是
,则
的一个可能取（　　）

A.
B.
C.
D.

6.设F1、F2为双曲线
的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（ 　　　 ）

A． 1 　　B.
　　　 C. 2 　 　D.

7.椭圆
的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )

A. （0，
] B.（0，
] C. [
，1） D. [
，1）

8.已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线 - =1（a>0,b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，AF⊥x 轴,若直线L是双曲线的一条渐近线，则直线L的倾斜角所在的区间可能为( )

A. (0, ) B. ( ,) C. ( ,) D. ( ,)

9．设点
在
内部，且有
，则
的面积比为（ ）

A. 1:2:3 B.3:2:1

C.2:3:4 D. 4:3:2

10. 已知函数
的周期T=4，且当
时，
，当
，
，若方程
恰有5个实数根，则的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

11.已知双曲线
-
=1和椭圆
+
=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形

12.中心在原点，焦点坐标为(0, ±5
)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为
，则椭圆方程为（ ）

A．
+
=1 B．
+
=1 C．
+
=1 D．
+
=1

二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

13.双曲线
的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为 ___________

14. 过点
并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .

15. 已知
,
则
的最小值为 .

16. 已知曲线
的参数方程为
，
在点（1,1）处切线为
，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则
的极坐标方程为 。

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17. （本小题满分10分）

已知函数

（1）求函数
的对称轴；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，
，求
的值。

18. （本小题满分12分）

已知圆
：

求过点
的圆的切线方程

若过点
的直线与圆交于
两点,且点
恰为弦
的中点,求
的面积.

19. （本小题满分12分）

设函数
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若关于的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知动直线
与椭圆
相交于、两点,且线段
中点的横坐标为
，点
，求：
的值．

21．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，直线
平面
，且
，又点
，
，
分别是线段
，
，
的中点，且点是线段
上的动点.

(1)证明：直线
平面
；(2)若
=8，且二面角
的平面角的余弦值为
，试求
的长度.

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.

(1)若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；

(2)求的最大值．

参考答案：

1-5 BABAB 6-10 ADDBD 11-12 BC

13.
14.
15.2 16.

17.（1）


。

∵
，∴
，

∴
的对称轴是:
,
。

（2）
，则
，

∵
，∴
，∴
，解得
。

∵
，

由正弦定理得，
　　①

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
。

18.解: （1） ∵

∴点P在圆外, ∴过点P的切线有两条,

∴当切线斜率不存在时,切线方程为:
,满足已知条件;

当切线斜率存在时,设斜率为
,则切线方程为:
,

∴
,解得:
∴切线方程为:

综上:过点P的切线方程为:
或

（2）∵点
恰为弦
的中点, ∴
,∴

∴点O到直线AB的距离

又∵
,

∴

19.解: （1）
的定义域为

∵

∴令
,解得:

∴
的单增区间是:

（2）∵
，

∴
．

即
，

令
， ∵
，且
，

由
．

∴
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．

∵
，
，
，

又
，

故
在区间
内恰有两个相异实根
．

即
．

综上所述，的取值范围是
．

20．解：（1）因为
满足
，
，

。解得
，则椭圆方程为

（2）将
代入
中得

因为
中点的横坐标为
，所以
，解得

又由（1）知
，

所以

21.解：(1)连结QM，因为点
，
，
分别是线段
，
，
的中点

所以QM∥PA 且MN∥AC，从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC

又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC 而QK平面QMN

所以QK∥平面PAC

(2)方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角
的平面

角,设
，且
则
，又
，且

，所以

，

解得
，所以
的长度为
。

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，

则A（0,8,0），M（0,4,0），N（4,0,0），P(0,8,8)，Q (0,4,4) ，

设K（a,b,0）,则a+b=4,
=(0,-4,4)，

记
，则

取
则
，

则
，

又平面AKM的一个法向量
，设二面角
的平面角为

则|cos
|=
，解得
，

所以所以
的长度为
。

22．解：(1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，

∴＝tan 30°＝，∴a＝b.又a2＋b2＝22，

∴3b2＋b2＝4，[2分]

∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1，

∴离心率e＝＝.[5分]

(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立，

解方程组得P.[7分]

设＝λ，则＝λ，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，

则(x0－c，y0)＝λ，

∴x0＝，y0＝.即A.[10分]

将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，

等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[12分]

∴λ2＝＝－＋3

≤－2 ＋3＝3－2＝(－1)2，

∴当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.