命题人：潘长江

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“(
，使
”的否定是（ ）

A. (
，使
＞0 B. 不存在
，使
＞0

C. (
，使
D. (
，使
＞0

2．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是
，离心率是
，则椭圆C的方程为 (　　)．

A.
B．
C.
D.

3．设集合
，则A∩B的子集的个数是（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，M 是AC与BD的交点，若
，

则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A．
B.

C．
D．

5．已知条件
, 条件
，则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线
的离心率为
，则C的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0），

（0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（ ）

A． 1 B．
C．
D．

8．过直线
：
上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为
，则椭圆的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，

四边形ABEF是矩形，且AF＝
，G是EF的中点，

则GB与平面AGC所成角的正弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C. A>B是cos2A

命题q：函数
的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知向量
分别是空间三条不同直线
的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）

A．

B.

C.
平行于同一个平面
，使得

D.
共点
，使得

12. 过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点，点
是原点，若
,则
的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，满分20分）13．有下列四个命题：

①“若
, 则
互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
,则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为___________________.

14. 过点
作一直线与椭圆
相交于A、B两点，若
点恰好为弦
的中点，则
所在直线的方程为 ．

15．抛物线顶点为
，焦点为，
是抛物线上的动点，则
的最大值为 ．

16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和，且长为的棱与长为
的棱异面，则的取值范围是_________________.

三．解答题（满分70分）

17.（本小题满分10分）

设抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥y轴.证明直线AC经过原点O.

18.（本小题满分12分）

直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，

D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

19. （本小题满分12分）

已知点
是椭圆
上的一点。F1、F2是椭圆C 的左右焦点。

（1）若∠F1PF2是钝角，求点P 横坐标x0的取值范围；

（2）求代数式
的最大值。

20. (本小题满分12分)

已知动圆过定点
，且与直线
相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于
两点，且满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）

　　在四棱锥
中，
底面
，
，

, 且
.

(1)若是
的中点，求证：
平面
;

(2)求二面角
的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知直线
经过椭圆
的左顶点A和上顶点D，椭圆
的右顶点为，点
是椭圆
上位于轴上方的动点，直线，
与直线

分别交于
两点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求线段MN的长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆
上是否存在这

样的点，使得
的面积为
？若存在，确定点的个

数，若不存在，说明理由。

高二期末数学(理科)试卷参考答案

1-5：DBDCA;6-10:ADCDB;11-12:CC

13. ①③；14.4x+9y-13=0； 15.
16.（0，
）

17.证：设AB：y=kx+
，代入x2=2py，得x2－2pmx－P2=0.

由韦达定理，得xAxB=－p2，

即xB=－
.

∵BC∥y轴，且C在准线y=－
上，

∴C（xB，－
）.

则kOC=
=
=kOA.

故直线AC经过原点O.

18.．解：(1)证明：设
＝a，
＝b，
＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴
＝b＋c，
＝－c＋b－a.

∴
·
＝－c2＋b2＝0，

∴
⊥
，即CE⊥A′D.

(2)
＝－a＋c，∴|
|＝|a|，|
|＝|a|.

·
＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，

∴cos〈
，
〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

19. （1）
（2）

20. 解：（1）设
为动圆圆心，
，过点
作直线
的垂线，垂足为，

由题意知：
， 即动点
到定点与定直线
的距离相等，

由抛物线的定义知，点
的轨迹为抛物线，其中
为焦点，
为准线，

∴ 动点的轨迹方程为

（2）由题可设直线的方程为
，

由
得

△
，

设
，
，则
，

由
，即
，
，于是
，

即
，
，

，解得
或
（舍去），

又
， ∴ 直线存在，其方程为

21 解：（1）如图，建立空间直角坐标系
．连接
,易知
为等边三角形，
，则

．又易知平面
的法向量

为
,

由
,得

,

所以
平面
………………………6分

(2)在
中，
,则
,由正弦定理,

得
,即
，所以
，
．

设平面
的法向量为
，

由
，

令
，则
，即
…………………10分

又平面
的法向量为
,

所以，
．

即二面角
的余弦值为
………………………13分

22．

要使椭圆
上存在点，使得
的面积等于
，只须到直线
的距离等于
，所以在平行于
且与
距离等于
的直线
上。设直线
则由
解得
或
。