2014.1.8

参考公式：

回归直线的方程是：＝bx＋a，

其中b＝=
，a＝－ba＝－b；

其中i是与xi对应的回归估计值．

一选择题（共12小题、每小题5分、共计60分）

1．某学校进行问卷调查，将全校4200名同学分为100组，每组42人按1～42随机编号，每组的第34号同学参与调查，这种抽样方法是(　　)

A．简单随机抽样　　 　 　B．分层抽样

C．系统抽样　　　　 　 　D．分组抽样

2．为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是（　　）

A．30 B．60

C．70 D．80

3．已知区域M：x2＋y2≤4，区域N：－x≤y≤x，随机向区域M中投放一点．该点落在区域N内的概率为(　　)

A. B. C. D.

4．圆
的圆心到直线
的距离是( )

A．
B．

C．
D．

5．在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：（　　）

①对所求出的回归方程作出解释；

②收集数据

③求线性回归方程；

④求相关系数；

⑤根据所搜集的数据绘制散点图．

若根据实际情况能够判定变量x、y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是

A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①

6. 已知实数
满足
,则
的最大值为 （　　）

A．
B．0

C．
D．

7. 将字母
排成三行两列,要求每行字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （　　）

A．12种 B．18种

C．24种 D．36种

8．已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的是 (　　)

A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2

C．e2e1＝2 D. >2

9．执行如图所示的程序框图，若n＝4，则输出s的值是(　　)

A．－42 B．－21

C．11 D．43

10. 已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y＝x＋1；②y＝x＋2；③y＝－x＋3；

④y＝－2x.其中是“A型直线”的序号是　（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

11．过点
作圆
的弦,其中弦长为整数的共有（　　）

A．16条 B．17条 C．32条 D．34条

12．已知抛物线
的焦点为，准线与轴的交点为，点在
上且
，则
的面积为( )

A． B．
C．
D．

二、填空题（共4小题、每题5分、共计20分）

13.110（2）= （二进制转换为十进制）

14．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

使用年限（x）年

2

3

4

5

6



维修费用（y）万元

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



求出线性回归方程 ；

15．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2＝17外部的概率应为 .

16．已知实数、满足方程
，当
（
）时，由此方程可以确定一个偶函数
，则抛物线
的焦点到点
的轨迹上点的距离最大值为____________.

三、解答题（共计6道题、17题10分、18——22题每题12分、共计70分）

17 ． (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C: x2＋y2=4,直线L过点P(-1,-2),倾斜角为30o,

(Ⅰ)求直线L的标准参数方程;

(Ⅱ)求曲线C的参数方程

18. (本题满分12分)在等差数列
中,
,
,记数列
的前项和为

(1)求数列
的通项公式;

（2）求
；

19．(本题满分12分)设
的内角
所对的边分别为
且
.

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)若
,求
的周长的取值范围.

20.(本题满分12分)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株沙柳。各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为，设
为成活沙柳的株数，数学期望
为3，标准差
为
。

（1）求
的值，并写出
的分布列；

（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。

21．(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．

(1)求证：A1B∥平面ADC1；

(2)求二面角C1-AD-C的余弦值；

(3)试问线段A1B1上是否存在一点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．

22(本题满分12分)已知点M是圆C：x2＋y2＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足＝，记动点N的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

高二学年期末理科数学试题答案

1--5CCADD 6--10AAACB 11--12CB

13.7 14.y=1.23x+0.08 15.
16.

三、解答题（共计6道题、17题10分、18——22题每题12分、共计70分）

17 ． (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C: x2＋y2=4,直线L过点P(-1,-2),倾斜角为30o,

(Ⅰ)求直线l的参数方程;

(Ⅱ)求曲线C的参数方程

L:

C:

18. (本题满分12分)在等差数列
中,
,
,记数列
的前项和为

(1)求数列
的通项公式;

（2）求

解:(1)设等差数列
的公差为
,

因为
即

解得

所以
.

所以数列
的通项公式为

(2)因为
,

所以数列
的前项和

19．(本题满分12分)设
的内角
所对的边分别为
且
.

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)若
,求
的周长的取值范围.

20.(本题满分12分)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株沙柳。各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为，设
为成活沙柳的株数，数学期望
为3，标准差
为
。

（1）求
的值，并写出
的分布列；

（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。

21．(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．

(1)求证：A1B∥平面ADC1；

(2)求二面角C1-AD-C的余弦值；

(3)试问线段A1B1上是否存在一点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．

解：(1)连接A1C，交AC1于点O，连接OD.

由ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC的中点，所以OD为△A1BC的中位线，

所以A1B∥OD，

因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1.

(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA、BC、BB1两两垂直．以B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

设BA＝2，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，1)，D(1，0，0)，

所以＝(1，－2，0)，＝(2，－2，1)

设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，

则有

所以取y＝1，得n＝(2，1，－2)．

易知平面ADC的一个法向量为v＝(0，0，1)．

所以cos 〈n，v〉＝＝－.

因为二面角C1-AD-C是锐二面角，

所以二面角C1-AD-C的余弦值为.

(3)假设存在满足条件的点E.

因为点E在线段A1B1上，A1(0，2，1)，B1(0，0，1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.

所以＝(0，λ－2，1)，＝(1，0，1)．

因为AE与DC1成60°角，所以

|cos 〈，〉|＝|＝.

即||＝，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．

所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60°角．

可得
, 所以

从而有,
,

由
,得

此时
.

当且仅当
,
时,
成等比数列

22(本题满分12分)已知点M是圆C：x2＋y2＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足＝，记动点N的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

因为|AB|＝2，

所以＝2，

即(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]＝4，

所以(1＋k2)[(－)2－]＝4，

即m2＝，

因为k2≥0，所以≤m2<1.

又点O到直线AB的距离h＝，

因为S＝|AB|·h＝h，

所以S2＝h2＝＝.

令S2＝u,1＋k2＝t，则t≥1，∴1＋2k2＝2t－1，

∴S2＝，即u＝，u′＝≤0，

∴u＝在[1，＋∞)上单调递减，

∴t＝1时，umax＝，

即S2≤，∴0