时间：120分钟 满分：150分

一、选择题:

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是

A.　 B. C．2 D．4

4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)

A．6　 B．8 C．10 D．12

5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)

A. 4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0

6.已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是 (　　)

A.－37 B．－29

C．－5 D．以上都不对

7.若如图所示的程序框图输出的S的值为126，

则条件①为(　　)

A．n≤5? B．n≤6?

C．n≤7? D．n≤8?

8.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)

A．e2 B．2e2 C．e2 D．

9.给出两个命题：p：平面内直线
与抛物线
有且只有一个交点，则直线
与该抛物线相切；命题q：过双曲线
右焦点的最短弦长是8.则(　　)

A．q为真命题 B．“p 或q”为假命题

C．“p且q”为真命题 D．“p 或q”为真命题

10.设
是椭圆
的左、右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

A．
B．
C．36 D．

12．设为双曲线
的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以
为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为
、
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

13. 已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝____ .

x

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7





14.将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．

15.已知函数
有极值，则实数的取值范围为

16.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，

水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

三、解答题：

17.(本小题满分10分)

命题p：关于x的不等式
，对一切
恒成立；命题q：函
是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

19.(本小题满分12分)

设
的导数为
，若函数
的图像关于直线
对称，且
。

（1）求
的值；

（2）求函数
的极值。

20.(本小题满分12分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出
名学生，将其成绩（均为整数）

分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图．观察图形

的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计这次考试的及格率（
分及以上为及格）和平均分；

21.(本小题满分12分)

已知函数
，

（1）讨论
单调区间；

（2）当
时，证明：当
时，证明：
。

22.(本小题满分12分)

设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，)，求△PAB面积的最大值．

大庆铁人中学2012级高二上学期期末考试

数学试题（文） 2014. 1

18. 解析　依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

则直线方程为y＝－x＋p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，

过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，

则由抛物线定义得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋＋x2＋，

即x1＋x2＋p＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，

由消去y，

得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.

将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，

同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.

19. （1）

（2）极大值为
，极小值为

（3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

……………………14分

21. （1）
，
上是增函数;
,
减
增

（2）设
，
，
增，
，所以

22. 　(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为e＝＝，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，得：?

所求椭圆M的方程为＋＝1.……………4分

(2)直线AB的直线方程：y＝x＋m.由，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，………5分

由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.…………6分

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·＝ ，…………7分

又P到AB的距离为d＝.……………8分

大庆铁人中学2013级高二上学期期中考试

数学试题（文） 2014. 1

时间：120分钟 满分：150分 出题人：苏杰 审核人：郭振亮

一、选择题:

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　　)

A.　 B. C．2 D．4

4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)

A．6　 B．8 C．10 D．12

5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)

A. 4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0

6. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是 (　　)

A.－37 B．－29

C．－5 D．以上都不对

7.若如图所示的程序框图输出的S的值为126，

则条件①为 (　　)

A．n≤5? B．n≤6?

C．n≤7? D．n≤8?

8. 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)

A．e2 B．2e2 C．e2 D．

9．给出两个命题：p：平面内直线
与抛物线
有且只有一个交点，则直线
与该抛物线相切；命题q：过双曲线
右焦点的最短弦长是8.则(　　)

A．q为真命题 B．“p 或q”为假命题

C．“p且q”为真命题 D．“p 或q”为真命题

10.设
是椭圆
的左、右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:

则7个剩余分数的方差为（　　）

A．
B．
C．36 D．

11．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在

平面内运动，使得△ABP的面积为定值，

则动点P的轨迹是

A.圆 B. 椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线

12．设为双曲线
的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以
为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为
、
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

13. 已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝____

x

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7



2.6

14.将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．55(8)

15.已知函数
有极值，则实数的取值范围为

答案

或

16.右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，

水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

三、解答题：

17.(本小题满分10分)

已知命题p：
，命题q：
，
，

若“”是“”的必要而不充分条件，求a的取值范围.

18.(本小题满分12分)

抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．

解析　依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

则直线方程为y＝－x＋p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，

过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，

则由抛物线定义得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋＋x2＋，

即x1＋x2＋p＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，

由消去y，

得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.

将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，

同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.

19.(本小题满分12分)

设
的导数为
，若函数
的图像关于直线
对称，且
。

（1）求
的值；

（2）求函数
的极值。

（1）

（2）极大值为
，极小值为

20.(本小题满分12分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出
名学生，将其成绩（均为整数）

分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图．观察图形

的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计这次考试的及格率（
分及以上为及格）和平均分；

（3）从成绩是
分以上（包括
分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

【解析】（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032分

直方图如右所示………………………………．4分

（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75% 6分

利用组中值估算抽样学生的平均分

45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6…………………．8分

＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05

=71

估计这次考试的平均分是71分…………………………………………．10分

（3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

……………………14分

21.(本小题满分12分)

已知函数
，

（1）讨论
单调区间；

（2）当
时，证明：当
时，证明：
。

（1）
，
上是增函数;
,
减
增

（2）设
，
，
增，
，所以

22.(本小题满分12分)

设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，)，求△PAB面积的最大值．

　(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为e＝＝，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，得：?所求椭圆M的方程为＋＝1.……………4分

(2)直线AB的直线方程：y＝x＋m.由，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，………5分

由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.…………6分

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·＝ ，…………7分

又P到AB的距离为d＝.……………8分

则S△ABC＝|AB|d＝ ＝＝……………10分

≤·＝，……………12分

当且仅当m＝±2∈(－2，2)取等号．………13分

∴(S△ABC)max＝.

3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)

A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8

将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:

则7个剩余分数的方差为（　　）

A．
B．
C．36 D．

教师版高二数学期末考试数学试卷理科2013-1-16

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上）

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线”的(　C　)

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( D )

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　A　)

A.　 B. C．2 D．4

答案解析　长轴长为2a＝，短轴长为2，∴＝4.∴m＝.

4．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为(　B　)

A．8　　　　B．4 C．2 D．0

解析　因x＝8,2,0时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.

另解：a∥b?存在λ>0使a＝λb?(8，，x)＝(λx，λ，2λ)??.∴选B.

5．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为(　C　)

A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y

解析　由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.

6．给出两个命题：p：平面内直线
与抛物线
有且只有一个交点，则直线
与该抛物线相切；命题q：过双曲线
右焦点的最短弦长是8。则(　B．　)

A．q为真命题 B．“p 或q”为假命题C．“p且q”为真命题 D．“p 或q”为真命题

7．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　B．　)

A．－1 B．0 C．1 D．不确定

思路　数形结合法，用特殊图形(如正四面体)计算，或在一般图形中，选取基向量，用基底表示题中向量，然后再计算．

8.设
是椭圆
的左、右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则的离心率为（ C ）

A.
B.
C.
D.

9．.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，

使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( B )

A.圆 B. 椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线

解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线 AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！

10．设为双曲线
的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以
为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为
、
，则
的值为（ C ）

A.
B.
C.
D.

解析：对
有
，特殊情形：为右焦点，
，
。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知双曲线x2－(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.

答案　2解析　双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，比较系数得b＝2.

12.椭圆
的长轴长为6，右焦点是抛物线
的焦点 ，则该椭圆的离心率等于

13．命题“如果＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________．

[答案]　如果x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0

14.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量