第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；每个小题只有一个选项符合题目要求）

1.设集合
；
；则
为

.
.

.
.

2.已知为第二象限角，
，则
的值为

.
.

.
.

3.已知向量
，
.若
，则的值是

. .

.
.

4.如图所示的算法流程图中,第2个输出的数是

. .

. .

5.设不等式组
，表示平面区域为D，在区域D内随机取

一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

.
.

.
.

6.设二次函数
在区间
上为减函数，则实数的范围为

.
.

.
.

7.在等差数列
中，
，
，则数列
的前
项和为

.
.

.
.

8.设
，则“
”是“函数
为偶函数”的

.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件

9.设实数
满足约束条件
，则
的最小值为

.
.

.
.

10.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

.
.

.
.

11.已知
为抛物线
上的两点，且
的横坐标分别

为
，过
分别作抛物线的切线，两切线交于点，则

的纵坐标为

. .

.
.

12.已知双曲线
的右焦点为，若过且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是

.
.

.
.

第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）

二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分；请将正确答案填写在相应的横线上）

13.函数
的最小值为 .

14.曲线
在点
处的切线方程 .

15.已知过抛物线
焦点的直线
与抛物线相交于
两点，若
，则
.

16.设
，现有下列命题：①若
，则
；②若
，则
；

③若
，则
；④若
，则

其中正确命题的序号为 .

三.解答题（本题共6小题，共70分；作答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17（本题满分10分）

在
中，角，，
的对边为，
，且；

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
，
，求
的值。

18（本题满分12分）

为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从
三个区中抽取6个工厂进行调查.已知
区中分别有27, 18，9个工厂.

（Ⅰ）求从
区中应分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自区的概率。

19（本题满分12分）

如图，三棱柱
的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为
，

为棱
的中点。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小。

20（本题满分12分）

已知数列
的前项和
满足

（Ⅰ）证明
为等比数列，并求
的通项公式；

（Ⅱ）设
；求数列
的前项和
。

21（本题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)若
，试判断
在定义域内的单调性；

(Ⅱ) 当
时，若
在上有个零点，求
的取值范围。

22（本题满分12分）

已知椭圆
的一个焦点为
，过点且垂直于长轴的直线被椭圆
截得的弦长为
；
为椭圆
上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若
，
且
，求四边形
的面积的最大值和最小值。.

遵义四中2013-2014学年度第一学期期末考试

数学答案（文科）

参考答案

18：解：（Ⅰ）由题可知，没个个体被抽取到得概率为
；

设
三个区被抽到的工厂个数为
，则

所以
，故
三个区被抽到的工厂个数分别为

（Ⅱ）设区抽到的工厂为
，区抽到的工厂为
，
区抽到的工厂为

则从6间工厂抽取2个工厂，基本事件有：
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
共15种情况；

2个都没来自区的基本事件有
，
，
共3种情况

设事件“至少一个工厂来自区”为事件
，则事件
为“2个都没来自区”

所以

所以，至少有一个工厂来自区的概率为

21：解：（Ⅰ）由
可知，函数的定义域为

又
，所以当
时，

从而
在定义域内恒成立。

所以，当
时，函数
在定义域内为增函数。

（Ⅱ）当
时，

所以
，由
可得
解得

由
可得
解得
，所以
在区间
上为减函数

在区间
上为增函数，所以函数
在上有唯一的极小值点

也是函数的最小值点，所以函数的最小值为

要使函数
在上有个零点，则只需
，即

所以实数
的取值范围为

（Ⅱ）由
，
知，点
共线，点
共线，

即直线
经过椭圆焦点。又
知，

（i）当
斜率为零或不存在时，

（ii）当直线
存在且不为零时，可设斜率为
，则由
知，
的斜率为

所以：直线
方程为：
。直线
方程为:

将直线
方程
代入椭圆方程
，消去并化简整理可得

，

设
坐标为
，则
，
…………①

从而
，将①代入化简得

，