册亨县民族中学2013—2014学年第一学期期末考试

高二数学试卷（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况,现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本,则中年人应抽取的人数是

A.6 B.12 C.15 D.18

2.右边的程序运行时输出的结果是

A.12，5 B.12，21 C.12，3 D.21，12

3.线性回归方程
表示的直线必经过

A．（0，0） B.（
） C.（
） D.（
）

4．“至多有三个”的否定为

A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个

5.数据15,17,14,10,15,17,17,16,14,12的平均数为、中位数为
、众数为，则

A.
B.

C.
D.

6.对于常数m,n,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1的图像是双曲线”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.对于向量a=(2,-2,3),b=(-4,x,2)，且a⊥b,则X等于

A. -1 　B. 1 C.-2 　 D. 2

8.把红、蓝 黑 白4张纸牌随机分给甲乙丙丁4人，每人分得一张，事件甲分锝红牌与事件乙分锝红牌是

A. 对立事件 B.互斥但不对立事件

C.不可能事件 D.以上都不对

9．椭圆
上一点与椭圆的两个焦点
、
的连线互相垂直，则△
的面积为

A．
　　 B．
C．
D．

10.在△ABC内任取一点P则△ABP与△ABC的面积之比大于
的概率是

A．
B．
　　 C．
D．

11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y等于

A．0 B．1

C. D．－

12.如图已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为

A. B. C. D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.记事件A的对立事件为
若
。

14.把89化为五进制数是 。

15．已知AB是过椭圆＋＝1左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是________。

16.已知
三点共线，且

，则
的最小值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有证明过程或演算步骤）

17. (本小题满分10分)某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；（5分）

（2）用分层抽样的方法在分数段为

的学生中抽取一个容量为
的样本，

.求
和
分数段各有多少人？（5分）

18. (本小题满分12分)

在一次商贸会上，甲、乙两人相约同一天上午前去洽谈，若甲计划在9:00-9:40之间赶到，乙计划在9:20-10:00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.

19．(本小题满分12分)

设命题p：
是方程
的一个根 ，命题q：点
是椭
上的一点，若
是真命题，
是假命题，求的值。

20. (本小题满分12分)

某种饮料每箱装有6听，其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多大。

21.(本小题满分12分)

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，

过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.

(1)求椭圆的方程；

(2)求△CDF2的面积．

22．(本小题满分12分)

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．

(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；

(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．

高二数学（理）参 考 答 案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

D

B

D

C

A

B

D

C

A

C



二、填空题（每小题5分，共20分）

13．

14.324（5）

15.8

16.9

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有证明过程或演算步骤）

17. 解：(1)分数在
内的频率为：

1-（0.010+0.015*2+0.025+0.015）*10=0.3………………….（5分）

（2）
分数段人数：60*0.015*10=9………………….（7分）

分数段人数：60*0.3=18………………….（10分）

18. 解：

…………（10分）

……………………………….（12分）

19. 解：由命题p：
是方程
的一个根得，命题p：

或
。………………….（3分）

命题q：点
是椭圆
上的一点得命题q：
或
………………….（5分）

由
是真命题，
是假命题得两命题一真一假，………………….（7分）

若p真q假则
符合………………….（9分）

若p假q真则
符合………………….（11分）

综上：
或
………………….（12分）

20.解：把每听饮料标号，合格的记作1．2．3．4，不合格的记作
，
。只要检测

的2听中有1听不合格则表示测出不合格产品，依次不放回从箱中取出2听饮料得到的两个标记为x,y,则（x,y）表示一次抽出的结果。用A表示抽出的2听，饮料中有不合格产品，A1表示仅第一次抽到不合格产品，A1表示仅第二次抽到不合格产品。A12表示仅两次都抽到不合格产品。则A1 ．A1 ．A12是互斥事件。且

…………………………………（5分）

所以
…………………………….（8分）

因为A1中中的基本事件的个数为8，A2中的基本事件的个数为8，A12中的基本事件的个数为2，全部基本事件的总数为30.

所以
……………（12分）

21. 解析：(1)易得椭圆方程为＋y2＝1. ……………….（3分）

(2)∵F1(－1,0)，

∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，

由得9x2＋16x＋6＝0. ……………….（5分）

∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，……………….（6分）

所以直线与椭圆有两个公共点，

设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则……………….（8分）

∴|CD|＝|x1－x2|＝·

＝·＝，……………….（9分）

又点F2到直线BF1的距离d＝，……………….（10分）

故S△CDF2＝|CD|·d＝.…………….（12分）

22解：(1)证法一：取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1，………….（1分）

由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，………….（2分）

因此平面FCC1，即为平面C1CFF1，

连结A1D，F1C，由于A1F1
D1C1
CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.

又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，………….（4分）

而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，……………（5分）

故EE1∥平面FCC1. ……………（6分）

证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD
AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC. ……………（4分）

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1，……………（5分）

又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1……………（6分）.

(2)

过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．……………（7分）

则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)

所以＝(0,2,0) ……………（9分）

＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．

由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.

又CC1⊥平面ABCD，

所以为平面FCC1的一个法向量．

设平面BFC1的一个法向量为
＝(x，y，z)，……………（10分）

则由
得

即

取x＝1得，因此
＝，

所以cos(，
)＝

＝＝＝.

故所求二面角的余弦值为.……………（12分）