参考公式：

柱体体积公式
锥体体积公式

圆锥的表面积
圆锥的侧面积

圆台侧面积
台体体积公式

球的表面积公式
球的体积公式

一、选择题（每题5分，共50分）

1、 三视图均相同的几何体是（　　）

A．球 B．正方体 C．正四面体 D．以上都对

2、 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（　　）

A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台

3、 根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是（ ）

A．0 B．2 C．3 D．1

4、设
是两个不同的平面，
是一条直线，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

5、已知二面角
的平面角是锐角
，内一点
到
的距离为3，点C到

棱
的距离为4，那么
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6、如图，给出的是计算
的值的一个程序框图,则图中执行框内①

处和判断框中的②处应填的语句是( )

A. n=n+2, i>15? B. n=n+1, i>15?

C. n=n+2, i>14? D. n=n+1, i>14 ?

7、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是

BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体

的体积为( )

A．
B．

C．
D．

9、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16.当对方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）

A．4,6,1,7 B．6,4,1,7 C．1,6,4,7 D．7,6,1,4

10、 如图，在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A—A1 D1 —B1内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（每题5分，共25分）

11、已知
，
，则、两点的中点坐标为

12、圆台上、下底面面积分别为、
, 侧面积是
, 这个圆台的高为_ ___

13、一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是
，则这条线段与这个二面角的棱所成角的大小为

14、执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果
__________

15、以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有

①空间四边形；

②每个面都是等边三角形的四面体；

③最多三个面是直角三角形的四面体；

④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.

三、解答题（共75分）

16、已知分段函数

(1)完成求函数值的程序框图；

(2)若输出的y值为16，求输入的x的值.

17、在长方体
中，
，
，

、分别为
、
的中点．

(1)求证：
平面
；

(2)求证：
平面
．

18、在空间直角坐标系中，已知O (0,0,0) ，A(2,－1,3)，B(2,1,1).

(1)求|AB|的长度；

(2)写出A、B两点经此程序框图执行运算后的对应点A0，B0的坐标，并说出点A0，B0在空间直角坐标系o-xyz中的关系.

19、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
，直线B1C与平面ABC成45°角。

(1)求证：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；

(2)求二面角A—B1C—B的余弦值.

20、已知四棱锥
的三视图和直观图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱
上的动点．

(1)求证：
；

(2)若为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

21、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

棠湖中学高2015届高二上学期第二次月考 数学参考答案

三、解答题（共75分）

16、已知分段函数
，

6分⑴完成求函数值的程序框图.

6分⑵若输出的y值为16，求输入的x的值.

当x≤－6时

2x+1=16

∴x=
(舍去)

当－6＜x＜3时

x2-9=16

x=±5

∴x=－5

当x≥3时

2x=16

∴x=4

综上所述：x=－5或4

17、在长方体
中，
，
，、分别为
、
的中点．

6分(1)求证：
平面
；

6分(2)求证：
平面
．

(1)证：∵BC⊥面DCC1D1

∴BC⊥DF

∵矩形DCC1D1中，DC=2a，DD1=CC1=a

∴DF=FC=

∴DF2+FC2=DC2

∴DF⊥FC

∵BC∩FC=C

∴DF⊥面BCF

(2) 证：连结AC交BD于O，连结FO，EF

∵

∴

∴四边形EAOF为平行四边形

∴AE//OF

∵AE面BDF

OF面BDF

∴AE//面BDF

18、在空间直角坐标系中，已知O (0,0,0) ，A(2,－1,3)，B(2,1,1).

文 6分(1)求|AB|的长度；

6分(2)写出A、B两点经此程序框图执行运算后的对应点A0，B0的坐标，

并说出点A0，B0在空间直角坐标系o-xyz中的关系.

理 6分(1)求|AB|的长度；

6分(2)写出A、B两点经此程序框图执行运算后的对应点A0，B0的坐标，

并求出
在
方向上的投影.

(1)

文(2) ∵A(2,－1,3)满足 22+(－1)2≤32

∴输出A0(2,－1,3)

∵B(2,1,1)不满足22+12≤12

∴z=z+1=2

∵(2,1,2)不满足22+12≤22

∴z=z+1=3

∵(2,1,3)满足22+12≤32

∴输出B0(2,1,3)

∴A0，B0关于平面xoz对称

理(2) ∵A(2,－1,3)满足 22+(－1)2≤32

∴输出A0(2,－1,3)

∵B(2,1,1)不满足22+12≤12

∴z=z+1=2

∵(2,1,2)不满足22+12≤22

∴z=z+1=3

∵(2,1,3)满足22+12≤32

∴输出B0(2,1,3)

∴
=(2,－1,3)，
=(2,1,3)

∴

∴
在
方向上的投影等于

19、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
，直线B1C与平面ABC成45°角。

6分（1）求证：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；

6分（2）求二面角A—B1C—B的余弦值；

(1)证：∵BB1⊥面ABC

∴B1C与面ABC所成的角为∠B1CB

∴∠B1CB=450

∵BB1=1

∴BC=1

又∵BA=1,AC=

∴AB2+BC2=AC2

∴AB⊥BC

∵BB1⊥AB

BB1∩BC=B

∴AB⊥面B1BCC1

∵A1B1//AB

∴A1B1⊥面B1BCC1

∵A1B1面A1B1C

∴面A1B1C⊥面B1BCC1

20、已知四棱锥
的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱
上的动点．

文 6分（1）求证：

7分（2）若为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；

理 4分（1）求证：

5分（2）若为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；

4分（3）五点
在同一球面上，求该球的体积.

证明：由已知

,

又因为
，

(2)解法一：连AC交BD于点O，连PO，由(1)知

则
，
为
与平面
所成的角.

,
则

法二：空间直角坐标法，略.

(3)解：以正方形
为底面，
为高补成长方体，此时对角线
的长为球的直径，

,
.

21、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

4分(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

5分(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

5分(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

解:（1）（法一）∵平面
平面
,AE⊥EF,∴AE⊥面平面
,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。…………………………………………… 1分

则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分

（－2，2，2），
（2，2，0）…………………………………………………3分

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴
……………………………4分

（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，……………1分

由平面
平面
知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。………………… 4分

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以
VA-BFC＝
＝4 (4-x) x

………………………………………………………………………7分

即
时
有最大值为
。…………………………………………………………8分

（3）（法一）设平面DBF的法向量为
，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴

（－2，2，2）, ………………………………9分

则
，

即
，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴

面BCF的一个法向量为
……………………………12分

则cos<
>=
…………………………………………14分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－

（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。…………………………9分

由△HMF∽△EBF，知
，而HF=1，BE=2，
，∴HM＝
。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-
，

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝
， ………………………………13分

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－
。