海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科）

2014.01

学校 班级 姓名 成绩

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）抛物线
的准线方程是 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）若直线
与直线
平行，则实数
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）在四面体
中，点
为棱
的中点. 设
,
，
，那么向量
用基底
可表示为（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知直线
，平面
.则“
”是“
直线
，
”的 （ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则实数
的取值范围是（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知命题
椭圆的离心率
，命题
与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）

（A）
是真命题 （B）
是真命题

（C）
是真命题 （D）
是假命题

（7）若焦距为
的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图所示，在正方体
中，点
是棱
上的一个动点，平面
交棱
于点
．则下列命题中假命题是 （ ）

（A）存在点
，使得
//平面

（B）存在点
，使得
平面

（C）对于任意的点
，平面
平面

（D）对于任意的点
，四棱锥
的体积均不变

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

（9）在空间直角坐标系中，已知
，
.若
，则
.

（10）过点
且与圆
相切的直线方程是 .

（11）已知抛物线
：
，
为坐标原点，
为
的焦点，
是
上一点. 若
是等腰三角形，则
.

（12）已知点
是双曲线
的两个焦点，过点
的直线交双曲线
的一支于
两点，若
为等边三角形，则双曲线
的离心率为 .

（13）如图所示，已知点
是正方体
的棱
上的一个动点，设异面直线
与
所成的角为
，则
的最小值是 .

（14）曲线
是平面内与定点
和定直线
的距离的积等于
的点的轨迹.给出下列四个结论：

①曲线
过坐标原点；

②曲线
关于
轴对称；

③曲线
与
轴有
个交点；

④若点
在曲线
上，则
的最小值为
.

其中，所有正确结论的序号是___________．

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题共10分）

在平面直角坐标系
中，已知点
，动点
在
轴上的正射影为点
，且满足直线
.

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）当
时，求直线
的方程.

(16)（本小题共11分）

已知椭圆
：
，直线
交椭圆
于
两点.

（Ⅰ）求椭圆
的焦点坐标及长轴长；

（Ⅱ）求以线段
为直径的圆的方程.

(17)（本小题共11分）

如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，
，
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）棱
上是否存在一点
，使直线
与平面
所成的角是
？若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．

(18)（本小题共12分）

已知椭圆
：
经过如下五个点中的三个点：
，
，
，
，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设点
为椭圆
的左顶点，
为椭圆
上不同于点
的两点，若原点在
的外部，且
为直角三角形，求
面积的最大值.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科）

参考答案及评分标准 2014．01

选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

C

D

B

A

D

B

C

B



二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

（9）
（10）
（11）
或

（12）
（13）
（14）①②④

注：（11）题少一个答案扣2分.

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）设
，则
，
，
.……………………2分

因为 直线
，

所以
，即
. ………………………4分

所以 动点
的轨迹C的方程为
（
）. ………………………5分

（Ⅱ）当
时，因为
，所以
.

所以 直线
的倾斜角为
或
.

当直线
的倾斜角为
时，直线
的方程为
； ……………8分

当直线
的倾斜角为
时，直线
的方程为
. …………10分

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）原方程等价于
.

由方程可知：
，
，
，
. ……………………3分

所以 椭圆
的焦点坐标为
，
，长轴长
为
.……………5分

（Ⅱ）由
可得:
.

解得：
或
.

所以 点
的坐标分别为
，
. ………………………7分

所以
中点坐标为
，
. ……………9分

所以 以线段
为直径的圆的圆心坐标为
，半径为
.

所以 以线段
为直径的圆的方程为
. …………………11分

（17）（本小题满分11分）

（Ⅰ）证明：在正方形
中，
.

因为
，
，

所以
平面
． ………………………1分

因为
平面
，

所以
． ………………………2分

同理，
．

因为
，

所以
平面
． ………………………3分

（Ⅱ）解：连接
，由（Ⅰ）知
平面
．

因为
平面
，

所以
． ………………………4分

因为
，
，

所以
．

分别以
，
，
所在的直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

由题意可得：
，
，
，
．

所以
，
，
，
．

设平面
的一个法向量
，

则
即
令
，得
.

所以
．

同理可求：平面
的一个法向量
． ………………………6分

所以
．

所以 二面角
的余弦值为
． ………………………8分

（Ⅲ）存在．理由如下：

若棱
上存在点
满足条件，设
，
．

所以
．…………………9分

因为 平面