延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试

高二数学（理科） 2014.1

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案涂在答题卡上.）

1.在直角坐标系中，直线
的倾斜角是

Ａ.
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

２. “
”是“直线
平行于直线
”的

A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 若点
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程是

A.
B.

Ｃ.
D.

4. 已知命题

,
.若命题
是假命题,则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

5. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱

的长度是

Ａ.
B.

C.
D.

6．设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，则
②若
，则

③若
，则
④若
，则

其中正确命题的序号是

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

7．方程
与
且
在同一坐标系中所表示的曲线可能是

A． B． C． D．

8．已知
关于面
的对称点为
，而
关于
轴对称的点为
，则
Ａ．
B．
C．
D．

9.点
在抛物线
上，点
满足
恒成立，则
的取值范围是

Ａ.
B.
C.
D.

10. 下列命题中真命题的个数是

① 若
是空间任意四点，则有
；

②在四面体
中，若
，则
；

③在四面体
中点，且满足
.

则
是锐角三角形

④对空间任意点
与不共线的三点
，若

（其中
且
），则
四点共面.

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）

11. 若
三点共线 则
的值为________________.

12. 直线
被曲线
所截得的弦长等于 .

13. 已知双曲线
的离心率为
，一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．

14. 把正方形
沿对角线
折起,当以
四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面
所成的角的大小为 ．

15. 已知
，则以
为邻边的平行四边形的面积为 ．

16. 如图，把椭圆
的长轴
分成
等份，

过每个分点作
轴的垂线交椭圆的上半部分于

七个点，
是椭圆的一个焦点，

则
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

17.（本小题满分12分）

已知直线
和直线
的交点为
，分别求满足下列条件的直线方程.

（Ⅰ）直线
过点
且到点
和点
距离相等；；

（Ⅱ）直线
过点
且在两坐标轴上的截距之和为
.

18．（本小题满分10分）

已知直角坐标平面上点
和圆
：
，动点
到圆
的切线长与
的比等于常数

.求动点
的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

19.（本小题满分12分）

已知抛物线
的顶点在原点，经过点
，其焦点
在
轴上，直线
交抛物线
于
两点，
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交抛物线
于点
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）证明：抛物线
在点
处的切线与
平行.

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为
为正方形，
，

平面
，
为棱
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求四棱锥
的体积．

21．（本小题满分12分）

如图直角梯形
中，
，
，

平面
，
,分别以
为
轴、
轴、

轴建立直角坐标系
．

（Ⅰ）求
与
夹角的余弦值；

（Ⅱ）求
与平面
夹角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆
:

的离心率为
，两个焦点分别为
和
,椭圆
上一点到
和
的距离之和为
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 设点
是椭圆
的上顶点，点
是椭圆上；

异于点
的两点，且
,求证直线
经过
轴上一定点．

延庆县2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案

高二数学（理科） 2014.1

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

A

D

A

C

B

C

D



二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

11.
12.
13.
14.
15.
16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

17.（本小题满分10分）

已知直线
和直线
的交点为
，分别求满足下列条件的直线方程.

（Ⅰ）直线
过点
且到点
和点
距离相等；

（Ⅱ）直线
过点
且在两坐标轴上的截距之和为
.

解：（Ⅰ）由
，解得交点坐标为
，………………………2分

因为直线
过点
且到点
和点
距离相等

所以直线
平行与直线
,或经过
的中点.

由已知得
，
的中点
,且
…………………5分

直线
的方程为
或

即
或
………………………………7分

（解法二：设直线
的方程为
，利用点到直线距离公式）

（Ⅱ）设直线
的方程为
，

令
，得
，令
，得
， …………………9分

依题意
，整理的
，解得
或
.

所以直线
的方程为
或
.

即
或
. ………………………………12分

18．（本小题满分10分）

已知直角坐标平面上点
和圆
：
，动点
到圆
的切线长与
的比等于常数

.求动点
的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

解：设直线
切圆于
，

则动点
组成的集合是：
. …………2分

∵圆的半径
，∴
.………4分

设点
的坐标为
，则
…………6分

整理得
.

当
时，方程为
，它表示过点
且与
轴垂直的直线；…8分

当
时，方程化为
，

它表示圆心在
，半径为
的圆. …………………10分

19. （本小题满分12分）

已知抛物线
的顶点在原点，经过点
，其焦点
在
轴上，直线
交抛物线
于
两点，
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交抛物线
于点
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程.

（Ⅱ）证明：抛物线
在点
处的切线与
平行；

解：依题意，设抛物线
的方程为
，

（Ⅰ）∵点
在抛物线
上，∴
.

∴抛物线
的方程为
…………………4分

（Ⅱ）如图，设
，

把
代入
得
.

由韦达定理得

∴
. ∴
点的坐标为(
.……………8分

设抛物线
在点
处的切线
的方程为
，

将
代入上式得
，

∵直线
与抛物线
相切，

∴
.即

∴
. ∴抛物线
在点
处的切线
与
平行.…………………………12分

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面