海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（文科）

2014.01

学校 班级 姓名 成绩

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）抛物线
的准线方程是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）若直线
与直线
平行，则实数
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）直线
与圆
相交所得的弦的长为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知双曲线
的两条渐近线方程为
，那么此双曲线的虚轴长为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知函数
的导函数为
，那么“
”是“
是函数
的一个极值点”的 （ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）已知命题
函数
是增函数，命题

，
的导数大于0，那么 （ ）

（A）
是真命题 （B）
是假命题 （C）
是真命题 （D）
是真命题

（7）函数
的部分图象为 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

（8）在平面直角坐标系
中，已知集合
所表示的图形的面积为
，若集合

，则
所表示的图形面积为

（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

（9）已知
，则
.

（10）过点
且与圆
相切的直线的方程是 .

（11）曲线
在
处的切线方程为
，则
______，
______.

（12）已知抛物线
：
，
为坐标原点，
为
的焦点，
是
上一点. 若
是等腰三角形，则
.

（13）已知点
是双曲线
的两个焦点，过点
的直线交双曲线
的一支于
两点，若
为等边三角形，则双曲线
的离心率为 .

（14）如图所示，在正方体
中，点
是棱
上的一个动点，平面
交棱
于点
．给出下列四个结论：

①存在点
，使得
//平面
；

②存在点
，使得
平面
；

③对于任意的点
，平面
平面
；

④对于任意的点
，四棱锥
的体积均不变.

其中，所有正确结论的序号是___________．

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题共11分）

已知函数
，且
是函数
的一个极小值点.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

(16)（本小题共11分）

已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线
交抛物线
于点
，
.

（Ⅰ）若
（点
在第一象限），求直线
的方程；

（Ⅱ）求证：
为定值（点
为坐标原点）.

(17)（本小题共11分）

已知椭圆
：
经过点
，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
的左、右焦点分别为
，过点
的直线交椭圆
于
两点，求
面积的最大值.

(18)（本小题共11分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）记函数
的最小值为
，求证：
.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（文科）

参考答案及评分标准 2014．01

选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

C

D

B

A

B

D

A

B



二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

（9）
（10）
（11）
，

（12）
或
（13）
（14）①③④

注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）
. ………………………2分

是函数
的一个极小值点，

.

即
，解得
. ………………………4分

经检验，当
时，
是函数
的一个极小值点.

实数
的值为
. ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
.

.

令
，得
或
. ………………………6分

当
在
上变化时，
的变化情况如下：







































↗



↘



↗





 ………………………9分

当
或
时，
有最小值
；

当
或
时，
有最大值
. ………………………11分

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）设
，由题意，
且
.

点
在抛物线
上，且
，

点
到准线
的距离为
.

，
. ………………………2分

又

，
，

.

.

， ………………………4分

直线
的方程为
，即
. ………………………5分

（Ⅱ）由题意可设直线
的方程为：
.

由
得
，即
. ………………………7分

显然
恒成立.

设
，
，则
………………………9分

.

即
为定值. ………………………11分

（17）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）由题意
，椭圆
的方程为
. ………………………1分

将点
代入椭圆方程，得
，解得
.

所以 椭圆
的方程为
. ………………………3分

（Ⅱ）

由题意可设直线
的方程为：
.

由
得
.

显然
.

设
，
，则
………………………7分

因为
的面积
，其中
.

所以
.

又


，

. ………………………9分

.

当
时，上式中等号成立.

即当
时，
的面积取到最大值
. ………………………11分

（18）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）

的定义域为
.

. ………………………2分

令
，解得
或
（舍）