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2013-2014学年度上学期辽师附中期中考试 高二数学（理）试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：袁庆祝 校对：杨悦 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.若命题“错误！未找到引用源。”为假，且“错误！未找到引用源。”为假，则 ( ) A．错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。为假 B．错误！未找到引用源。假 C．错误！未找到引用源。真 D．不能判断错误！未找到引用源。的真假 2.抛物线的焦点坐标为 ( ) A. B. C. D. 3．两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D．与 4．若，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A B D 5．下列四组不等式中,同解的一组是 ( ) A.错误！未找到引用源。 与 B. 错误！未找到引用源。 与 C.错误！未找到引用源。 与 D. 与 6. 设是等差数列的前n项和，若 （ ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是 （ ） A． 的最小值是2 B． 的最小值是2 C． 的最小值是 D．的最大值是 8．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 9．下列说法错误的是 ( ） A．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题. B. 命题： ,则 C．命题“若，则”的否命题是：“若，则” D．存在性命题 “，使”是真命题. 10．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的投影为C，若，，则抛物线的方程为 （ ） A． B． C D 11. 已知关于的不等式的解集 是，且，则的最小值是 （ ） A B 2 C D 1 12. 双曲线的左右焦点分别是,点在其右支上,且满足,,则的值是 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案的最简结果填在题中的横线上． 13. 为真命题是为真命题的_____________条件． 14.已知等比数列｛｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和 Sn= ___________． 15.给出平面区域（如图），若使目标函数：z＝ax＋y （a＞0）取得最大值的最优解有无数多个， 则a的值为 ． 16.已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（满分10分）（1）若不等式的解集是，求不等式的解集. （2），试比较与的大小。 18. （12分）已知p：, q:x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若﹁p是﹁q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 19.(12分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。 （1）求； （2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 20．（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形） 21.（12分）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有. （1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。 （2）求数列的前n项和. 22．（12分）椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上．
辽师附中期中考试高二数学（理）答案 一选择题：1-4 BCDC 5-8 DACD 9-12 DDAC 二填空题 13. 必要不充分 14. 15. 16. （－4，2） 17． 解：（1）由题意：，是的两个根，解得 为，解得，故所求解集为5分 (2)
= 10分 18. 解： 由x2－2x+1－≤0得：1－m≤x≤1+m(m>0) 所以：“﹁q”：A={x|x>1+m或x<1－m,m>0} ………………………………4分 由得：－2≤x≤10,所以 “﹁ p”:B={x|x>10或x<－2}. ………………………………8分 由﹁p是﹁q的必要而不充分条件，知：AB, 故m的取值范围为 ……………………………………………….12分 19. 解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得： 4分 （2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则： 6分 由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得 8分 又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 10分 （3）年平均收入为=20- 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。 12分 21. 解：（1）对于任意的正整数都成立， 两式相减，得 ∴， 即 ，即对一切正整数都成立。 ∴数列是等比数列。 由已知得 即 ∴首项，公比，。。6分 12分 22． 解：（1）由题意知b＝＝． 因为离心率e＝＝，所以＝＝． 所以a＝2． 所以椭圆C的方程为＋＝1． ………… 4分 （2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则 直线PM的方程为y＝x＋1， ① 直线QN的方程为y＝x＋2． ② ………………………… 6分 证法一 联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．……… 8分 由＋＝1可得x02＝8－4y02． 因为()2＋()2＝ ＝＝＝＝1， 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．………………… 12分 证法二 设T(x，y)． 联立①②解得x0＝，y0＝． ……………………… 8分 因为＋＝1，所以()2＋()2＝1． 整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9， 即＋＝1． 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．………………… 12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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