考试时间120分钟 满分150分

第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集
R，集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．设：
；：
，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于 (　　)

A．2　　　　　B．2 C. D．1

4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足
＝λ1
＋λ2
(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A．直线　　　　　B．椭圆 C．圆 D．双曲线

5．将函数
的图象F向右平移
，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是
,则
的一个可能取（　　）

A.
B.
C.
D.

6．下列命题中错误的是 ( )

A. 如果平面
平面，平面
平面，
，那么

B. 如果平面
平面
，那么平面内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面不垂直于平面
，那么平面内一定存在直线垂直于平面

D. 如果平面
平面
，在内任意作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

7．数列{
}定义如下：
=1，当
时，
，若
，则的值等于

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

8．设函数
，若互不相等的实数
满足

，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9．已知抛物线
：
的焦点为，以为圆心的圆
交
于
，交
的准线于
，若四边形
是矩形，则圆
的方程为

A.
B.

C.
D.

10．设，，
为单位圆
上不同的三点，则

点集
所对应的平面区域的面积为（ ）

A. B.
C. D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

11．已知
为奇函数，且当
时
，则
　　▲　　．

12．过抛物线
的焦点，方向向量为
的直线方程是　　▲　　．

13．若
，则
▲

14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ▲

15．点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是　▲　　．

16．已知整数对排列如下

，

则第60个整数对是 ▲ ；

17．已知为抛物线C：
上的一点，为抛物线C的焦点，其准线与轴交于点，直线
与抛物线交于另一点
，且
，则点坐标为　　▲　　．

三、解答题：(本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．)

18．（本题满分14分）已知
的三内角
与所对的边
满足
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）如果用
为长度的线段能围成以
为斜边的直角三角形，试求实数的取值范围．

19．（本题满分14分）数列
是公比为
的等比数列，且
是
与
的等比中项，前项和为
．数列
是等差数列，
，前项和
满足
为常数，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式及
的值；

（Ⅱ）比较
与
的大小.

20．（本题满分14分）已知函数
（
）．

（Ⅰ）若
的定义域和值域均是
，求实数的值；

（Ⅱ）若
在区间
上是减函数，且对任意的
，
，

总有
，求实数的取值范围．

21．（本题满分15分）如图，在三棱锥
中，直线
平面
，且
，又点
，
，
分别是线段
，
，
的中点，且点是线段
上的动点.

(Ⅰ)证明：直线
平面
；(Ⅱ)若
=8，且二面角
的平面角的余弦值为
，试求
的长度.

22．（本题满分15分）已知椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.

(1)若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；

(2)求的最大值．

数学（理科）试题 参考答案

1－5:：B A B A B 6--10： C D D B D

11．-2； 12．
； 13．
； 14．6；

15．x2－＝1； 16．
； 17．
．

18．18.（1）2bcosA-ccosA=acosC

2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC ..............2分

2sinBcosA=sin(A+C)=sinB

cosA=
A=
...............6分

（2）
sin
A=sin
B+sin
C=
(1-cos2B)+
(1-cos2C)

=1-
cos2B-
cos(
)=1+
sin(2B-
) ...............10分

又0

1<
...............14分

19．解（Ⅰ）由题意
，即
（2分）

解得
，∴
（4分）

又
，即
（6分）

解得
或
（舍）∴
（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∴
①（10分）

又
，

∴
②（13分）

由①②可知
（14分）

20.（1）a=2

（2）

21.解：(Ⅰ)连结QM，因为点
，
，
分别是线段
，
，
的中点

所以QM∥PA 且MN∥AC，从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC

又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC 而QK平面QMN

所以QK∥平面PAC ………………………7分

(Ⅱ)方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角
的平面

角,设
，且
则
，又
，且

，所以

，

解得
，所以
的长度为
。 ………………………15分

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，

则A（0,8,0），M（0,4,0），N（4,0,0），P(0,8,8)，Q (0,4,4) ，

设K（a,b,0）,则a+b=4,
=(0,-4,4)，
…………9分

记
，则

取
则
，

则
， ……………………………………………………………………11分

又平面AKM的一个法向量
，设二面角
的平面角为

则|cos
|=
，解得
，

所以所以
的长度为
。 ………………………………15分

22．解：(1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，

∴＝tan 30°＝，∴a＝b.又a2＋b2＝22，

∴3b2＋b2＝4，[2分]

∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1，

∴离心率e＝＝.[5分]

(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立，

解方程组得P.[7分]

设＝λ，则＝λ，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，

则(x0－c，y0)＝λ，

∴x0＝，y0＝.即A.[10分]

将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，

等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[12分]

∴λ2＝＝－＋3

≤－2 ＋3＝3－2＝(－1)2，

∴当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.