数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合
，
,
,则
等于 （ ）

A．
B.
C.
D.

2. 已知是第二象限角,
（　 ）

A．
B．
C．
D．

3. 设
为直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　 　）

A．若
,
,则
B．若
,
,则

C．若
,
,则
D．若
,
,则

4. 设首项为,公比为
的等比数列
的前项和为
,则( )

A．
B．
C．
D．

5．设
，则下列不等式中不成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知抛物线C1的参数方程为
(t为参数)，圆C2的极坐标方程为
，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )

A．1 B．
C．
D．2

7．方程
的实根个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

8．
（ ）

A．
B．
C．
D．

已知
的解集为
，则的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

由曲线
，直线
以及两坐标轴所围成的图形的面积S的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

11．设
，若
恒成立，则k的最大值为

A．2 B．4 C．6 D．8

12．已知函数
，若对任意两个不等的正实数
都有
恒成立，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。

13．已知曲线
的参数方程是
（为参数，
），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是 ．

14. 二维空间中圆的一维测度（周长）
，二维测度（面积）
，观察发现
；三维空间中球的二维测度（表面积）
，三维测度（体积）V＝
πr3，观察发现V′＝S。则四维空间中“超球”的三维测度
，猜想其四维测度W＝　　　　。

15.若实数、、满足
，则称比远离.若
比1远离0，则的取值范围是 .

16.已知
为复数，为虚数单位，
为纯虚数，
，且
，则复数 .

三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. (本小题满分10分)

等差数列
中,

(1)求
的通项公式;

(2)设

18. (本小题满分12分)

已知为复数，
和
都是实数，其中为虚数单位。

（1）求复数；

（2）若复数
在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围。

19．(本小题满分12分)

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为
，记
．

(1)求随机变量
=5的概率；

(2)求随机变量
的分布列和数学期望．

20. (本小题满分12分)

以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单

位．已知直线
的参数方程为
（为参数，
）．曲线C的极

坐标方程为

．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求
的最小值．

21. (本小题满分12分)

若圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求圆C的方程；

(2)设Q为圆C上的一个动点，求
·
的最小值；

(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

22. (本小题满分12分)

已知函数
．

（1）讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数
的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

参考答案:

1-5 BABDB 6-10 CBACC 11-12 DD

13.
14.
15.
16.

17.(1)设等差数列
的公差为d,则

因为
,所以
. 解得,
.

所以
的通项公式为
.

(2)
,

所以
.

18.（1）因为
为实数，所以设
，

则

，

因为
为实数，所以
，即
。

所以
。

，

因为复数
在复平面上对应的点在第一象限，

所以
，

所以
。.

19.(1)
、可能的取值为、、
，

，且当
或
时，

又有放回摸两球的所有情况有
种，

(2)
的所有取值为
．

时，只有
这一种情况．

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况．

，
，
，

则随机变量
的分布列为：

























因此，数学
.

20.（1）由
得到
，

所以曲线C的直角坐标方程为
。

将直线的参数方程代入
，得到
，

设A、B两点对应的参数分别为
，则

，
，

所以
，

当
时，|AB|的最小值为2.

21.(1)设圆心C(a，b)，则解得

则圆C的方程为x2＋y2＝r2.

将点P的坐标代入得r2＝2，

故圆C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，

且
·
＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，

所以
·
的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．

(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y－1＝k(x－1)，

PB：y－1＝－k(x－1)，

由

得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，

因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，

故可得xA＝.

同理，xB＝，

所以kAB＝＝

＝＝1＝kOP，

所以，直线AB和OP一定平行．

22.（1）由题意
．

当
时，函数
的定义域为
，

，则
，
，则
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，

当
时，函数
的定义域为
，

，则
，
，则
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数。

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点
，

∴切线方程：
，将点坐标代入得：

，即
， ①

设
，则
．

令
，则
或
。

（0,1）

1

（1,2）

2







+

0

-

0

+





递增

极大值

递减

极小值

递增



所以
在区间
，
上是增函数，在区间
上是减函数，

在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，

所以
在
上恒成立，即
在
上无解。

因为
，
，
在区间
上单调递增，根据零点定理，
在区间
上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．