2013年12月

考生注意：

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟.选择题用2B铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题（本大题有10个小题，每个小题给出的四个选项中只有一个正确，请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分，共40分.）

1.直线
的倾斜角为（　 ）

A．
　　 　 B．
C．
D．

2.某校开设街舞选修课程，在选修的学生中，有男生28人，女生21人.若采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则应抽取的女生人数为（　 ）

A．9　　 B．8 C．7 D．6

3.《几何原本》的作者是（　 ）.

A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫[来源:学科网]

4.将点的直角
坐标(－2，2
)化为极径
是正值，极角在0到
之间的极坐标是（　 ）

A．(4，
)
B．(4，
) C．(4
，
) D．(4
，
)

5. 已知
，则方程
表示的平面图形是（　 ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.圆或椭圆

6．如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（　 ）

A.
B.
C.
D.

7.圆
在点
处的切线方程为（　 ）

A．
B．

C．
D．

8.过点
作直线与双曲线
交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线（　 ）

A．存在一条,且方程为
B．存在无数条

C．存在两条,方程为
D．不存在

9.圆
上到直线
的距离为
的点共（　 ）个

A．1　　 B．2 C．3 D．4

10.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则（　 ）

A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2

第II卷（共80
分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）

11.在空间直角坐标系中，点
与点
的距离是 .

12.经过点
,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程表示)

13某同学在四次语文单元测试中，其成绩的茎叶图如下图所示，则该同学语文成绩的方差 .

( 第13题图) (第14题图)

14. 如上图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .

15.给出下列结论：

①与圆
及圆
都外切的圆的圆心在一个椭圆上.

②若直线
与双曲线
右支有两个公共点，则
.

③经过椭圆
的右焦点
作倾斜角为
的直线
交椭圆于
两点，且
,则
.

④抛物线
上的点
到直线
的距离的最小值为
.

其中正确结论的序号是 .

三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.(10分) 在直角坐标系
中，以坐标原点
为圆心的圆与直线：
相切.

(1) 求圆
的方程；

(2) 若圆
上有两点
关于直线
对称，且
，求直线
的方程.

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

17.（10分） 某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将

他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40

分的整数）分成六段：
后得到如

图所示的频率分布直方图.

(1) 若该校高二年级共有学生640人，试估
计该校高二年级

本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；

(2) 若从数学成绩在
和
两个分数段内的学生

中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大

于10的概率.

18.（10分）如图：已知直线与抛物线
交于
两点，且
，
交
于点
，点
的坐标为
.

(1) 求
的值；

(2) 求
的面积.

19.（10分）已知圆
,坐标原点为
.圆
上任意一点
在
轴上的射影为点
，已知向量
.

(1) 求动点
的轨迹
的方程；

(2) 当
时，过点S (0，－)的
动直线l交轨迹
于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以
为直径的圆恒过
点?若存在，求出点T的坐
标；若不存在，请说明理由．

附加题：（注意: 本大题共2个小题，每题10分, 共20分. 每题第一问3分, 第二问7分）

20.在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.

(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

(2)已知点A(1，t)(t>0)是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE＋kAF＝0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

21. 已知
,当
的取值变化时，关于
的方程
的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合
{
仅有唯一直线}.

(1)求
中点
的轨迹方程；

(2)设
{
为常数}，任取
,如果
的最小值为
，求
的值.

南山中学2015级12月模拟考试

数学(理)答题卷

题号

二

16

17

18

19

20

21

总分



分数



















二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

11． ． 12． ．

13． ． 14． ．

15． ．

三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

得 分

评卷人













　　16．（本题满分10分）

得 分

评卷人













17．（本题满
分10分）

得 分

评卷人













18．（本题满分10分）

得 分

评卷人













19．（本题满分10分）

[来源:学&科&网]

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

得 分

评卷人













20．（ 本题满分10分）

得 分

评卷人













21．（本题满分10分）

16.解（1）
直线
与圆
相切

=
=

的方程为：
……………………………………………………….…(4分)

（2）
关于直线
对称

可设
所在的直线方程为：
…………………………………………….(5分)

到
的距离为1………………………………………………………………………….(7分)

即


直线
的方程为：
…………………........…(10分)

事件
所包含的的基本事件有：
,
,
,
,
,
,
共7种.

…………………………………………………………………………………….…….(10分)

18.解（1）

又

直线
的方程为
.………………………………………………………………….…(1分)

(2)法一:由

.………....…(7分)

.…………………………………………………………………………………………...…
(8分)

………………………………….......….…(10分)

法二:

后面做法同法一.

19.解（1）设
,
,

又
在圆
上

轨迹
的方程为
即
……
……………………….………………………(4分)

（2）当
时，轨迹
的方程为

（ⅰ）当
与
轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

（ⅱ）当
与
轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

由解得即两圆相切于点(0,1)，.……………………..……………(6分)

因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)．事实上，点T(0,
1)就是所求的点，证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y＝kx－，

由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)

＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋

＝(1＋k2)·－k·＋＝0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)，

综上，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. .…………………………………………………(10分)

20.解　(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)， ①

直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)， ②

设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得

y2＝－(x2－4)，

由mn＝3，整理得＋＝1，

∵N1，N2不与原点重合，∴点A1(－2,0)，A2(2,0)不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)，.…………………………………………………………………(3分)

(2)∵点A(1，t)(t>0)在轨迹M上，∴＋＝1解得t＝，

即点A的坐标为，

设kAE＝k，则直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，

设E(xE，yE)，F(xF，y
F)，∵点A在轨迹M上，

∴xE＝， ③

yE＝kxE＋－k， ④

又
kAE＋kAF＝0得kAF＝－k，将③、④式中的k代换成－k，可得

xF＝，yF＝－kxF＋＋k，

∴直线EF的斜率kEF＝＝，

∵xE＋xF＝，xF－xE＝，

∴kEF＝＝＝，

即直线EF的斜率为定值，其值为..…………………………………………………………..………(10分)

21.解(1)由题意易知，
仅有唯一解

所求的轨迹方程为
.……………………………………………………..……………(3分)

（2）设直线
与轨迹
相切，则

由
消
可得

即

的最小值为

.……………………………………………………………....…………………(10分)