数学（文）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合
，
,
,则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知是第二象限角,
（　 　）

A．
B．
C．
D．

3. 设
为直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　 　）

A．若
,
,则
B．若
,
,则

C．若
,
,则
D．若
,
,则

4. 设首项为,公比为
的等比数列
的前项和为
,则( )

A．
B．
C．
D．

5．记I为虚数集，设
，
.则下列类比所得的结论正确的是 （ ）

A．由
，类比得

B．由
，类比得

C．由
，类比得

D．由
，类比得

6．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )

A．由样本数据得到的回归方程
必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高；

7．已知抛物线C1的参数方程为
(t为参数)，圆C2的极坐标方程为
，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )

A．1 B．
C．
D．2

8．方程
的实根个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

9．已知
的解集为
，则的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

已知抛物线
的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的两条切线
，若直线
交于点M，则点M所在的直线为（ ）

A．
　 B.
C．
D.

11．设
，若
恒成立，则k的最大值为

A．2 B．4 C．6 D．8

已知函数
，若对任意两个不等的正实数
都有
恒成立，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知曲线
的参数方程是
（为参数，
），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是 ．

14．F1、F2分别是椭圆

的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，且四边形
的周长为4设过F1的直线l与E相交于A,B两点，且｜AB｜＝
，则｜AF2｜?｜BF2｜的最大值为 。

15．已知函数
（e是自然对数的底数）在
处的切线斜率为0，则
的值为 。

16.给出下列四个判断，（1）若
；（2）对判断“
都大于零”的反设是“
不都大于零”；（3） “
，使得
”的否定是“对
，
”；（4）某产品销售量（件）与销售价格（元/件）负相关，则其回归方程
。以上判断正确的是_________。

三、解答题：本大题共有6道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

等差数列
中,

(1)求
的通项公式;

(2)设

18.(本小题满分12分)

设函数
。

当
时，求不等式
的解集；

若
对
恒成立，求的取值范围。

19. (本小题满分12分)

若圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

(1)求圆C的方程；

(2)设Q为圆C上的一个动点，求
·
的最小值；

(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

20.(本小题满分12分)

以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线
的参数方程为
（为参数，
）．曲线C的极坐标方程为

．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，右顶点为抛物线
的焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点
任作一条直线
交椭圆C于A、B两点，
，连接
，
，

求证：
．

22.(本小题满分12分)

已知函数
，
。

（1）讨论函数
的单调性；

（2）如果对任意的，
[
，2]，都有
成立，求实数的取值范围。

参考答案：

1-5 BABDC 6-10 CCBCC 11-12 DD

13.
14.
15.
16.(1)(2)(3)

17.(1)设等差数列
的公差为d,则

因为
,所以
. 解得,
.

所以
的通项公式为
.

（2）
,

所以
.

18.设函数
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
对
恒成立，求的取值范围。

解析:（1）
等价于

或
或
，

解得：
或
．

故不等式
的解集为
或
．

（2）因为:
（当
时等号成立）

所以
。

由题意得：
， 解得
或
。

19.解：(1)设圆心C(a，b)，则解得

则圆C的方程为x2＋y2＝r2.

将点P的坐标代入得r2＝2，

故圆C的方程为x2＋y2＝2.

(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，

且
·
＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，

所以
·
的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．

(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y－1＝k(x－1)，

PB：y－1＝－k(x－1)，

由

得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，

因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，

故可得xA＝.

同理，xB＝，

所以kAB＝＝

＝＝1＝kOP，

所以，直线AB和OP一定平行．

20.（1）由
得到
，

所以曲线C的直角坐标方程为
。

将直线的参数方程代入
，得到
，

设A、B两点对应的参数分别为
，则

，
，

所以
，

当
时，|AB|的最小值为2.

21．（1）抛物线
的焦点坐标为
，

所以椭圆C的右顶点为
，

因为椭圆C的焦点在y轴上，所以
。

椭圆C的离心率
，所以
，

所以椭圆C的方程为
。

当直线
的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知
。

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
。

联立方程
，得方程
。

设
，则
，
。

因为
，
，

，

因为

。

所以
，

所以
。

22．（1）
，
，

①
，函数
在
上单调递增

②
时，
，则

，函数
的单调递增区间为
，

，则

，函数
的单调递减区间为
。

（2）
，
，





























-3

递减

极小值

递增

1





由上表可知，
在
处取得最大值，即

所以当
时，
恒成立，

等价于
恒成立，

记
，所以
，

，
，且
，

当
时，
，

即函数
在区间
上递增，

当
时，
，

即函数
在区间
上递减，

所以
时，
取到极大值也是最大值
，

所以
。.