本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知f＇（0）=2，则

=（ ）

A．4 B．－8 C．0 D．8

2．若
,则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
在区间
上的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
在
上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
单调递增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 函数
处的切线方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．下列积分中①
dx；②
；③dx；④
，积分值等于1的个数是(　　)．

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．

A. m B. m C. m D. m

11.抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( )

A.
B.
C.
D.

12：已知F1,F2是椭圆
的左、右焦点，点P是椭圆上的点，I是△F1P F2内切圆的圆心，直线PI交x轴于点M,则∣PI∣:∣IM∣的值为 （ ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13．已知函数
在R上可导，函数
，则
.

14. 由曲线
与
，
，
所围成的平面图形的面积为___________.

15. 若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线
,离心率为
,且过点
,则曲线
的方程为________.

16. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.（10分）计算下列定积分。

（1）
（2）

18. （12分）如图，在四棱锥
中，

平面ABCD，底面ABCD是菱形，
，

.（1）求证：
平面PAC；

（2）若
，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

19. （12分）在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,
,
、分别为
、
的中点.

(1)求二面角
的余弦值;

(2)求点到平面
的距离.

20．（12分）已知函数
在
与
时，都取得极值。

（1）求
的值；

（2）若
，求
的单调区间和极值；

（3）若对
都有
恒成立，求的取值范围。

21.（12分）设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

22.（12分）已知函数
，
.

（1）如果函数
在
上是单调减函数，求的取值范围；

（2）是否存在实数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

高二年级理科数学答案

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设

。则
设平面
的法

向量
则
，所以
令
则

，

所以
同理，平面
的法向量
，因为平面

，所以
，即
解得
，所以

19. 【答案】⑴取
中点,连结
?
.∵
,
,

∴
,
.∵平面
平面
,

平面
平面
,∴
平面
,∴
.

如图所示建立空间直角坐标系
,则
,
,



(2)由⑴得
,又
为平面
的一个法向量,
,

∴点到平面
的距离
.

20. 解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．

由题设，x＝1，x＝－
为f ′(x)＝0的解．

－
a＝1－
，
＝1×(－
)．∴a＝－
，b＝－2……………………………………3分

经检验得：这时
与
都是极值点．…………………………………4分

（2）f (x)＝x3－
x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－
＋2＋c＝
，c＝1．

∴f (x)＝x3－
x2－2 x＋1．



∴ f (x)的递增区间为（－∞，－
），及（1，＋∞），递减区间为（－
，1）．

当x＝－
时，f (x)有极大值，f (－
)＝
；

当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－
……………………………………………8分

（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－
x2－2 x＋c，

f (x)在[－1，－

及（1，2]上递增，在（－
，1）递减．

而f (－
)＝－
－
＋
＋c＝c＋
．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．

∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴
，∴

∴
或
∴
或
…………………12分

21. (1)解：设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A(，0)，B(，0)．

设P(x，y)，由得①

因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，

即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得

y＝x2－1.

∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.

(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．

联立方程

消去y，得x2－kx－b＝0.

所以m＋n＝k，mn＝－b.②

点P到直线MN的距离

d＝，|MN|＝|m－n|，

∴S△MNP＝d·|MN|

＝|k()－mn＋b|·|m－n|

＝· (m－n)2·|m－n|＝2.

即△MNP的面积为定值2.

22.