第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)

1．空间直角坐标系中，点
关于轴对称的点的坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知命题
，
，则( )

A．
,
B．
,

C．
,
≤
D．
,
≤

3．在空间中，若、
表示不同的平面，、、表示不同直线，则以下命题中正确的有　①若∥，∥
，∥，则∥
；②若⊥，⊥
，⊥，则⊥
③若⊥，⊥
，∥，则∥
；④若∥
，
，
，则∥

A. ①④ 　 　B. ②③ 　 　 C. ②④ 　　 D. ②③④

4．设点在轴上，它到点
的距离等于到点
的距离的两倍，那么点的坐标是( )

A.（1，0，0）和（ -1，0，0） B.（2，0，0）和（-2，0，0）

C.（
，0，0）和（
，0，0） D.（
，0，0）和（
，0，0）

5．圆
上的动点到直线
的最小距离为　　（ ） A．1 B．
C．
D.

6．设平面的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，

若
，则k＝ （ ）

A．2 B． 4 C．－2 D．－4

7．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，E1、F1分别在棱A1B1、C1D1上，且B1E1＝D1F1＝
，则BE1与DF1所成角的余弦值是

A．
B．
C．
D．

8．下列选项叙述错误的是（ ）

A.命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B.若
为真命题，则、均为真命题

C.若命题
，
，则
，

D．“
”是“
”的充分不必要条件

9．若椭圆的短轴为
,它的一个焦点为
,则满足
为等边三角形的椭圆的离心率是

A.
B.
C.
D.

10．设
为向量，则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

11．如图：在平行六面体
中，
为
与
的交点。若
，
，
则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积
的大小为（ ）

A.
B. 12

C.
D. 16

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若直线
与圆
相切，则实数的值是________

14．在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
、
在轴上，离心率为
.过点
的直线
交椭圆
于、两点，且
的周长为16，那么椭圆
的方程为 .

15．设
分别是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，若△
为直角三角形，则△
的面积等于__ __.

16．在三棱锥S?ABC中，
，二面角S?AC?B的余弦值是
，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.(本题10分)⑴已知命题：方程
无实根，命题：方程
是焦点在轴上的椭圆．若
与
同时为假命题，求的取值范围．

⑵已知命题
和命题
,若
是
的必要不充分条件,求实数的取值范围.

18.（本题12分） 如图，三棱锥
中，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
是
的中点，求
与平面
所成角的正切值

19．（本题12分）曲线C上任一点到点
，
的距离的和为12， 曲线C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在曲线C上，且位于x轴上方，
．

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求点P的坐标；

（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为
，求直线l的方程．

20．（本题12分）如图所示，在底面为直角梯形的四棱椎P—ABCD中，AD//BC,?ABC= 900, PA?平面ABCD，PA= 4，AD= 2，AB=2
,BC = 6.

（1）求证：BD?平面PAC ；（2）求二面角A—PC—D的正切值；

（3）求点D到平面PBC的距离.

21．（本题12分）已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切，过点P（4,0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点.（1).求椭圆C的方程; (2).求
的取值范围.

22．（本题12分）如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，点为
的中点.

（1）求证：
∥平面
；（2）求证：

；

（3）在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.

开滦二中2013～2014学年第一学期高二年级12月月考考试

理科数学试卷答案

选择题：

1题—12题：BCBAD BABDC AC

填空题：

13题：
； 14题:
； 15题:6； 16题：

三．解答题：

18题：解：(Ⅰ)因为
，所以
2分

又因为
,即

所以
4分

又
，所以
6分

(Ⅱ)取
中点，连
，则

又
，所以
，连结
，
，

则
就是
与平面
所成的角 10分

设
，则
，
，

所以
12分

19题：解：（Ⅰ）设G是曲线C上任一点，依题意，

∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半轴a=6，半焦距c=4，

∴短半轴b=
，

∴所求的椭圆方程为

； 3分

（Ⅱ）由已知
,
，设点P的坐标为
，则

由已知得

则
，解之得
，

由于
，所以只能取
，于是
，

所以点P的坐标为
； 7分

（Ⅲ）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为
，

若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为
，这时，圆心到l的距离
，

∴
，符合题意；

若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，则直线l的方程为
，

即
，这时，圆心到l的距离

∴
，

化简得，
，∴
，

∴直线l的方程为
，

综上，所求的直线l的方程为
或
12分

21题：解：(1)由题意知
，∴
，即

又
，∴

故椭圆的方程为
5分

（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为

由
得：
7分

由
得：
8分

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
　　①

∴
9分

∴

∵
，∴
，-------------------------------11分

∴
∴
的取值范围是
．------------------- 12分

22题：解：（1)连结
交
于，连结
,因为四边形
为正方形，所以为
的中点，又点为
的中点，在
中，有中位线定理有
//
，而
平面
，
平面
，

所以，
//平面
. 3分

（2）因为正方形
与矩形
所在平面互相垂直，所以
，
，

而
，所以
平面
，又
平面
，所以
. 6分

（3）存在满足条件的
. 8分

依题意，以为坐标原点，
、
、
分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为
，则
，
，
，
，所
，

易知
为平面
的法向量，设
，所以
平面
的法向量为
，所以
，即
，所以
，取
，

则
，又二面角
的大小为
，

所以
，解得
.

故在线段
上是存在点
，使二面角
的大小为
，且
. 12分.