汶上一中2013—2014学年高二10月月考

数学（文）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．以下四个结论：① 若a
α, b
β，则a, b为异面直线；② 若a
α, b
α，则a, b为异面直线；③ 没有公共点的两条直线是平行直线；④ 两条不平行的直线就一定相交．其中正确答案的个数是 (　　)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．已知
为异面直线，
平面
，
平面
．直线
满足
则 （　 　）

A．
,
且
B．
,且

C．
与
相交,且交线垂直于
D．
与
相交,且交线平行于

3.下列四个命题中的真命题是(　　)

A．?x∈N，x2≥1 B．?x∈R，x2＋3<0

C．?x∈Q，x2＝3 D．?x∈Z，使x5<1

4.给出以下四个命题:

①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;

②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;

③若x=y=0,则x2+y2=0;

④若x,y∈N*,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,那么(　　).

A.①的逆命题为真　　　　　 B.②的否命题为真

C.③的逆否命题为假 D.④的逆命题为假

5.a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )．

A．
B．
C．
D．

6.如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是

A.或a< C．≤a≤ D．a≥或a≤

7.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：
2x－5y＋b＝0互相垂直，

垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为 (　　)

A．0 B．－4 C．20 D．24

8．已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的 （ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

9．已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且
，则此棱锥的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图,正方体
中,
,
分别为棱

,
的中点,在平面
内且与平面
平

行的直线 （　 　）

A．有无数条 B．有2条 C．有1条 D．不存在

11．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ( 　)

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m?α，
n?β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥
β，则m⊥α

12.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，

则l的斜率k的取值范围是(　　)

A．－4≤k≤ B．－≤k≤4

C．k≥或k≤－4 D．以上都不对

二、填空题（共4小题，每小题5分）

13.经过点
，且在
轴上的截距相等的直线
方程是 ；

14.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）

15.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．

16.若直线
的斜率
，则此直线的倾斜角
的取值范围
为 ；

三、解答题（6小题，共70分）

17．(本小题满分10分)

已知
中，角
所对的边分别为

，且满

.

（1）求
的面积;

（2）若
,求
的值.[来源:Zxxk.Com]

18.(本小题满分12分)

(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？[来源:学+科+网Z+X+X+K]

(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

19. (本小题满分12分)

设A、B、C、D是不共面的四点，E、F、G、H分别是AC、
BC、DB、DA的中点，若
四边形EFGH的面积为
，求异面直线AB、CD所成的角。

20. (本小题满分12分)

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；

③圆心到直线l：x-2y=0的距离为
，求该圆的方程。

21．(本小题满分12分)

已知
，设命题p：函数
为增函数．命题q：当x∈[，2]时函数
恒
成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求
的范围．

22．(本小题满分12分)

如图,在长方体
中,
,
为
中点.

(1)求证:
；

(2)若
,求二面角
的余弦值；

(3)在棱
上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求
的长;若不存在,说明理由.

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

参考答案：

1-5 ADDAB 6-10 CBBAA 11-12 DC

13．
；14．充分不必要条件；

15.
； 16.
；

17．解：（1）
，又∵

∴
，又∵
，∴

∴

（2）∵

∴
，

18. (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？

(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？

解：(1)直线l1的斜率k1＝－1，

直线l2的斜率k2＝a2－2，

因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，

解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．

(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，

直线l2的斜率k2＝4，

因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，

解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．

19. 解：∵E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，

∴EF∥AB，FG∥CD，

∠EFG即为异面直线AB、CD所成的角或其补角。

且EF＝
AB＝
，FG＝
CD＝
，

依题意得，四边形EFGH的面积

＝EF·FG
∠EFG＝
·

∠EFG＝

∴
∠EFG＝
，∴∠EFG＝
或

∵异面直线AB、CD所成的角为锐角或直角，

∴异面直线AB、CD所成的角为
。[来源:学科网]

20.解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题意可知圆P截x轴所得
劣弧对的圆心角为90°，圆
P截x轴所得的弦
长为
，2|b|=
，得r2=2b2，又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b
2- a2=1．

又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为
，得d=
，即有

综前述得
，
解得
，
，于是r2= 2b2=2

所求圆的方程是
，或

21.解：由y＝()x为增函数得，0<
a<1

因为f(x)在[， 1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．

∴f(x)在x∈[，2]上最小值为f(1)＝2.

当x∈[，2]时，由函数f(x)＝x＋>恒成立得，2>，解得a>

如果p真且q假，则0

如果p假且 q真，则a≥1

所以a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)

22.解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设
,则

,故

（3）假设在棱上存在一点
,使得
平面
,则
[来源:Zxxk.Com]

设平面
的法向量为
,则有
,取
,可得
,

要使
平面
,只要
，即

,又
平面
,
存在点
使
平面
,此时
.