2012—2013学年第二学期高二期末试题

数学试卷（理科）

一 选择题(每题5分,共60分)

1、已知集合
,则
( )

A、
B、
C、
D、

2．设i为虚数单位，则复数的虚部为(　　)

A．i B．1 C．－i D．－1

3. 若
且
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、下列叙述中，正确的个数是

①命题p：“
”的否定形式为
：“
”；

②O是△ABC所在平面上一点，若
，则O是△ABC的垂心；

③“M＞N”是“
”的充分不必要条件；

④命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”．

A、1 B、2 C、3 D、4

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分有必要条件

7.若
则
等于(　 　)

A.
　　 　 B.
　　 　 C.
　　 D.

8.已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立（
为自然对数的底），则( )

A
B

C
D
与
大小不确定

9.设
在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是

( )

A [ -,+∞) B (-∞,-3] C [-, ] D (-∞,-3]∪[-,+∞)

10．若
满足
，
满足
，函数
，

则关于
的方程
的解的个数是( )

A．
B．
C．
D.

11. 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项, 已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,从中选2人,设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,
,则文娱队的人数为( )

12．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为
，直线EF交双曲线右支于点P，若
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二. 填空题 (每题5分,共20分)

13．已知
，那么
展开式中含
项的系数为 。

14．对大于或等于
的自然数
的
次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，若
的分解中含有数35，则
的值为________.

15. 已知
是(－∞，＋∞)上的增函数，那么
的取值范围是________．

16．已知在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，

若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是__________.

三 解答题 (共70分)

17. （本小题满分12）

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(t为参数，0<(<
)，曲线C的极坐标方程为
．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当(变化时，求|AB|的最小值．

18．（本小题满分12）盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等。先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字
，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字
。设
。

（1）求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）设“函数
在区间
内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率
。

19．（本小题满分12分）如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；

（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲
的离心率互为倒数。

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点B（0,b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求
的值。

21.（本小题满分12分）设函数

(Ⅰ) 当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性.

（Ⅲ）若对任意
及任意
，恒有
成立，求实数
的取值范围.

22. (本小题满分10分)

已知
，不等式
的解集为
。

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若
恒成立，求k的取值范围。

数学参考答案（理科）

一． 选择题 1-5DBCCB, 6-10ADCDC, 11-12 CA

二．填空题 13 135 ； 14 . 6 ； 15 (1，3) ； 16  ；

三．解答题17. （本小题满分12）解：（I）由
，得

所以曲线C的直角坐标方程为
. 5分

（II）将直线l的参数方程代入
，得t2sin2α－4tcosα－4＝0.

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1＋t2＝
，t1t2＝
，

∴|AB|＝|t1－t2|＝＝
，

当α＝时，|AB|的最小值为4 7分

（19）解：（Ⅰ）取
的中点
，

的中点
，连接
.

则
，又平面

平面
，

所以
平面
，同理
平面
，

所以
又易得
，

所以四边形
为平行四边形，所以
，

又
，所以平面平面ADE∥平面BCF

……………………………………………（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设
，则
,
,
，
，

，
.

设平面
的一个法向量是
，则

，

令
，得
.……………………………………………………………（9分）

设平面
的一个法向量是
，则

令
，得
.

所以
，

易知二面角
为锐二面角，故其余弦值为
，

所以二面角
的正切值为
.…………………………………（12分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点
的直线为
，

由
，得
，

所以
，
，…………………………………………………（7分）

依题意知
，且
.

因为
成等比数列，所以
，又
在
轴上的投影分别为
它们满足
，即
（9分）

显然
，

，解得
或
（舍去），…………（10分）

所以
，解得
，

所以当
成等比数列时，
.…………………………（12分）

21．(本小题满分12分）解：(Ⅰ)函数的定义域为
.

当
时，

2分

当
时，
当
时，

无极大值.
4分

（Ⅱ）

5分

当
，即
时，

在定义域上是减函数；

当
，即
时，令
得
或

令
得
当
，即
时，令
得
或
令
得

综上，当
时，
在
上是减函数；

当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增；

当
时，
在
和
单调递减，在
上单调递增； 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上单减，
是最大值，
是最小值.
10分

而
经整理得
，由
得
，所以
12分

22 （以下标24的为22题答案）